Carlos Alberto Rojas Hincapié

Matemáticas de secundaria:
Grados 8 - 9

INTERACTIVO

Carlos Alberto Rojas Hincapié
Red Educativa Digital Descartes, Colombia

1ª edición – 2022

Fondo Editorial RED Descartes

Córdoba (España)
2022

Título de la obra
Matemáticas de secundaria:
Grados 8 - 9

Autor
Carlos Alberto Rojas Hincapié
Primera edición: 2022

Código JavaScript para el libro: Joel Espinosa Longi, IMATE, UNAM.
Recursos interactivos: DescartesJS
Fuentes: Lato y UbuntuMono
Fórmulas matemáticas: $\KaTeX$
Núcleo del libro interactivo: septiembre 2023

Diseño de personajes:
Orlando Antonio Martinez Hoyos

Red Educativa Digital Descartes
Córdoba (España)
descartes@proyectodescartes.org
https://proyectodescartes.org

Proyecto iCartesiLibri
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/index.htm
https://prometeo.matem.unam.mx/recursos/VariosNiveles/iCartesiLibri/

ISBN: 978-84-18834-49-3

Esta obra está bajo una licencia Creative Commons 4.0 internacional: Reconocimiento-No Comercial-Compartir Igual.

Tabla de contenido

Prefacio

Este libro digital interactivo se ha diseñado con fundamento en la filosofía del Proyecto DescartesJS: "Trabajando altruistamente por la comunidad educativa de la aldea global", que sólo busca desarrollar contenidos educativos para el provecho de la comunidad académica, esperando únicamente como retribución el uso y difusión de estos contenidos. El contenido del libro, al igual que los objetos interactivos se han diseñado de tal forma que se puedan leer en ordenadores y dispositivos móviles sin necesidad de instalar ningún programa o plugin. El libro se puede descargar para su uso en local sin dependencia con la red, a excepción de algunos vídeos incluidos en el texto. Todos los objetos interactivos se han diseñado con el Editor DescartesJS.

El contenido de este libro se basa en un curso de capacitación del editor DescartesJS para docentes que, por la dificultad de concertar un horario presencial, permite una opción autodidacta acompañada de material interactivo para una mayor comprensión de los temas tratados.

Retomando la introducción a la documentación de DescartesJS de Radillo, Abreu y Espinosa, podríamos coincidir en que este libro está destinado tanto a personas que no han usado DescartesJS como a personas que tienen cierta experiencia y desean mejorarla. En cada apartado del libro se proponen ejercicios y se incluyen ejemplos para que el lector pueda comprender paso a paso la funcionalidad de DescartesJS y su enorme potencial para crear objetos interactivos de aprendizaje.

Componente Curricular de Matemáticas

El Estado colombiano, decidido a elevar la calidad de la educación, introdujo el enfoque basado en el desarrollo de competencias en los estudiantes, lo cual supone el tránsito desde el aprendizaje que centra la atención en el dominio de contenidos, a una educación basada en competencias que no se agota en el sistema educativo, sino que se desarrolla de manera permanente en interacción con el mundo.

De esta manera, consolidar una política de calidad enmarcada en el desarrollo de competencias implica, entonces, una transformación de fondo de las prácticas pedagógicas, del funcionamiento de la institución educativa y del papel de los actores educativos, teniendo como protagonista al estudiante. Buscando desarrollar este modelo se han realizado esfuerzos por elevar la calidad de la educación en el país; en este sentido, el Ministerio de Educación Nacional (MEN) ha puesto a disposición de docentes, directivos docentes, padres de familia y público en general herramientas pedagógicas como:

• Los lineamientos curriculares. (1998).
• Los Estándares Básicos de Competencias (EBC). (2006).
• Los Derechos Básicos de Aprendizaje (DBA). (2015).
• Las matrices de referencia. 2016.
• Las mallas de aprendizaje. 2017.

Herramientas que constituyen el punto de partida y sustento de todas las estrategias de mejoramiento, además son un importante insumo para el diseño curricular y el cambio en las prácticas pedagógicas .

Competencias específicas del área de matemáticas.

Son las encargadas de desarrollar la capacidad de formular, resolver y modelar fenómenos de la realidad; comunicar, razonar, comparar y ejercitar procedimientos para fortalecer la adquisición de conocimientos, habilidades, actitudes y comprensiones del pensamiento matemático, relacionándolos entre si para facilitar el desempeño flexible, eficaz y con sentido. Las competencias específicas en el área de matemáticas que evalúa la prueba Saber desde los grados 1° a 9° se reagrupan en las siguientes:

Tomado Saber 3° Guía de orientación(2017).

¿Qué son los Derechos Básicos de Aprendizajes (DBA)?

Los DBA, en su conjunto, explicitan los aprendizajes estructurantes para un grado y un área particular. Se entienden los aprendizajes como la conjunción de unos conocimientos, habilidades y actitudes que otorgan un contexto cultural e histórico a quien aprende.

Los DBA se organizan guardando coherencia con los Lineamientos Curriculares y los Estándares Básicos de Competencias (EBC). Su importancia radica en que plantean elementos para construir rutas de enseñanza que promueven la consecución de aprendizajes año a año para que, como resultado de un proceso, los estudiantes alcancen los EBC propuestos por cada grupo de grados.

Conceptos preliminares

DERECHOS BÁSICOS DE APRENDIZAJE (DBA)

DBA.1. Reconoce la existencia de los números irracionales como números no racionales y los describe de acuerdo con sus características y propiedades.

DBA.2. Construye representaciones, argumentos y ejemplos de propiedades de los números racionales y no racionales.

DBA.3. Reconoce los diferentes usos y significados de las operaciones (convencionales y no convencionales) y del signo igual (relación de equivalencia e igualdad condicionada) y los utiliza para argumentar equivalencias entre expresiones algebraicas y resolver sistemas de ecuaciones..

Derechos Básicos de Aprendizaje - Grado 8°.

DESEMPEÑOS / ESTÁNDAR

Pensamiento numérico.
1.1 M.IV Utilizo números reales en sus diferentes representaciones y en diversos contextos. DBA 1, 2.
1.2 M.IV Resuelvo problemas y simplifico cálculos usando propiedades y relaciones de los números reales y de las relaciones y operaciones entre ellos. DBA 3.
1.3 M.IV Utilizo la notación científica para representar medidas de cantidades de diferentes magnitudes. DBA 2.

El desarrollo de estos Estándares Básicos de Competencia permitirá fortalecer los procesos de formulación, modelación y resolución de problemas.

Capitulo I. Conceptos preliminares $\qquad$

Conceptos preliminares

El sistema de los números Reales ($\mathbb{R}$) lo conforman los conjuntos:

El conjunto de los números Naturales ($\mathbb{N}$)

N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,.......}

Se denomina el conjunto de los números Naturales o enteros positivos, están definidas las operaciones básicas: adición y multiplicación. El conjunto de los números Naturales surgió de la necesidad de contar, lo cual se manifiesta en el ser humano desde sus inicios, este conjunto se caracteriza porque tiene un número ilimitado de elementos.

El conjunto de los números Enteros ($\mathbb{Z}$)

Z = { .... –3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}

El Conjunto de los números Enteros surge de la necesidad de dar solución general a la sustracción (resta), pues cuando el sustraendo es mayor que el minuendo, esta sustracción no tiene solución en los números Naturales (por ejemplo: 5 – 20 = ¿?). Debido a esto, la recta numérica se extiende hacia la izquierda, de modo que a cada punto que representa un número Natural le corresponda un punto simétrico, situado a la izquierda del cero; Punto simétrico es aquel que está ubicado a igual distancia del cero (uno a la derecha y el otro a la izquierda de él), se dividen en:

El conjunto de los Números Racionales ($\mathbb{Q}$)

Un número Racional es un número que puede expresarse de la forma:

$$\frac{a}{b}=\frac{Numerador}{Denominador}, \quad con \quad b \equiv\not 0 $$

Este conjunto se creó debido a las limitaciones de cálculo que se presentaban los números Naturales y números Enteros, para solucionar esta dificultad, se creó este conjunto, podemos identificar dos tipos de fracciones:

• Fracciones propias.

Una fracción propia es una fracción donde el valor del numerador es más pequeño que el valor del denominador.

xploremos.
Ejemplos de fracciones propias representadas en la recta numérica, oprime el botón otro ejemplo para ver más fracciones.

Capitulo I. Conceptos preliminares $\qquad$

Se representa gráficamente, dividiendo cada intervalo de una recta numérica en espacios iguales, que representen números enteros.

Q = {....- ¾, - ½, - ¼ , 0, ¼ , ½, ¾,.....}

• Fracciones impropias.

Una fracción impropia es una fracción donde el valor del numerador es más grande que el valor del denominador, veamos algunos ejemplos de fracciones impropias en la recta numérica.

xploremos.
Ejemplos de fracciones impropias representadas en la recta numérica, oprime el botón otro ejemplo para ver más fracciones.

Representar en la recta fracciones propias e impropias.

Ingresa el numerador y denominador, oprime la tecla "enter <┘", el botón solución y observa la gráfica de la fracción.

Una fracción impropia, se puede representar como un ¡Número Mixto!, estos, se componen por un número entero y una fracción propia, por ejemplo:

$$\displaystyle\textrm{\Huge 3}\dfrac{1}{5}=\frac{(3)(5)+1}{5}=\frac{16}{5}$$

¿Sabes como se convierte un fracción impropia a un número mixto?

Capitulo I. Conceptos preliminares $\qquad$

Cada una de estas subdivisiones representa una fracción con denominador igual al número de partes de la subdivisión. Cada fracción es un número racional y cada número racional consta de infinitas fracciones equivalentes.

El conjunto de Números Irracionales ($\mathbb{Q^*}$)

Conjunto de Números Decimales Infinitos no Periódicos. Este conjunto surgió de la necesidad de reunir a ciertos números que no pertenecen a los conjuntos anteriores; entre ellos se pueden citar a las raíces inexactas, el número Pi, etc. A él pertenecen todos los números decimales infinitos puros, es decir aquellos números que no pueden transformarse en una fracción.

No deben confundirse con los números racionales, porque éstos son números decimales finitos, infinitos periódicos e infinitos semiperiódicos que sí pueden transformarse en una fracción.

Un número Irracional no se puede expresar como una fracción o el cociente de dos números, algunos ejemplos:

$$ \pi\approx 3,14159265358979323846…$$ $$ e\approx 2,718281828459045235360…$$

Las raíces inexactas representan números Irracionales.

$$\sqrt{2}\approx 1,41421356237309504880...$$

Los números Reales ($\mathbb{R}$)

El conjunto de los números Reales ($\mathbb{R}$) está conformado por la unión de los números Racionales ($\mathbb{Q}$) y los números Irracionales ($\mathbb{Q^*}$).

$$\color{blue} \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{Q^*}$$

Los números Racionales ($\mathbb{Q}$) incluye a los números Naturales ($\mathbb{N}$) y los números Enteros ($\mathbb{Z}$) y el cero (0).

La figura representa la gráfica del conjunto de los números Reales, teniendo en cuenta esto, se puede representar gráficamente el conjunto de los números Reales en una recta numérica, en la que cada punto representa un número.

Capitulo I. Conceptos preliminares $\qquad$

Representaciones numéricas de los conjuntos.

$\mathbb{N} = \left\lbrace 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,...\right\rbrace$

$\mathbb{Z} = \left\lbrace ... -6, -5, -4, -3, -2, -1\right\rbrace \cup \left\lbrace 0 \right\rbrace \cup \left\lbrace 1, 2, 3, 4, 5, 6,...\right\rbrace$

$\displaystyle \mathbb{Q} = \left\lbrace ...-3, -\frac{5}{2}, -2, -\frac{3}{2}, -1,-\frac{3}{4}, -\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, 1, -\frac{3}{2}, 2, \frac{5}{2},...\right\rbrace$

Los números Racionales es un número que se expresa de la forma:

$$\frac{a}{b} , \quad con \quad b \equiv\not 0$$

En otras palabras, se representa como el cociente de dos números, donde a y b son números enteros. (Recordemos que la división por cero no existe), un número Irracional ($\mathbb{Q^*}$) no se puede expresar como una fracción o el cociente de dos números.

Su característica principal es que al expresarlos en forma decimal, su parte decimal no termina ni se repiten, es un decimal infinito (es decir, con infinitas cifras), son decimales no periódicos.

$$\sqrt{5}\approx 2,236067976...$$

¿Qué son los números decimales?.

Expresando informalmente, como en muchos ámbitos de la educación, los números decimales son aquellos que poseen una parte decimal, en contraposición a los números enteros, que carecen de esta, es decir, un número decimal $\textit{\textbf{x}}$ se puede representar como:

$$ x = a,dddddd....$$ donde $\textit{\textbf{a}}$ es un número entero o cero y $\textit{\textbf{d}}$ dígitos decimales, por ejemplo:

$$\space\space \frac{1}{6} \approx 1,6666666666666...$$

Dada la definición anterior, observa el siguiente esquema:

Un número decimal que tiene en su parte decimal dígitos que se repiten infinitamente, se conocen como un decimal periódico.

Capitulo I. Conceptos preliminares $\qquad$

La parte que se repite se llama periodo, y se puede representar mediante una barra en la parte que se repite, por ejemplo:

$$ \frac{1}{6} \approx 1,6666666666666... = 1,\bar{6}$$

Teniendo en cuenta el esquema de la figura 1.3 , una fracción se puede representar como un número decimal que puede ser:

• Exacto, números decimales cuya parte decimal tiene un número finito de cifras. $$ \frac{5}{2} = 2,5 $$
• Periódico puro, números decimales en los que la parte decimal se repite periódicamente, inmediatamente después de la coma o separador decimal.
  
  $$ \frac{10}{3} \approx 3,3333333333333... = 3,\bar{3}$$
• Periódico mixto, números decimales en cuya parte decimal hay una parte no periódica, y otra periódica.
  
  $$ \frac{7}{44} \approx 0,1590909090909090... = 0,15\bar{90}$$

Video. Observa y complementa la información dada.

Si se tiene un número decimal exacto, periódico puro o periódico mixto, se puede encontrar la fracción que lo representa, esta fracción se conoce como fracción generatriz.

1. El numerador de donde se genera el número decimal, corresponde a la parte entera decimal completa menos la parte decimal que no se repite:
   
   $$ 1590 - 15 = 1575 $$ Por tanto, el numerador de la fracción es 1575.

Capitulo I. Conceptos preliminares $\qquad$

2. Ahora, el denominador tendrá tantos nueves (9) según tantos dígitos tenga la parte periódica y tendrá tantos ceros (0) según tantos dígitos tenga la parte no periódica:
   
   $$ \bar{90} = 99,\qquad 15 = 00,\qquad Denominador = 9900$$
3. Entonces la fracción que se obtiene es igual a:
   
   $$ \frac{\cancel{1575}}{\cancel{9900}} = \frac{\cancel{315}}{\cancel{1980}} = \frac{\cancel{63}}{\cancel{396}} = \frac{7}{44} $$ $$ \frac{7}{44} = 0,15\bar{90} \approx 0,1590909090909090...$$

Video. Observa y complementa la información dada.

Notación científica

La representación de un número en notación científica es una forma de escribir números demasiado grandes o demasiado pequeños utilizando potencias de 10.

Entre las partes que componen un número representado en notación científica (figura 1.4) tenemos:

• Coeficiente, es un número real, parte entera una sola cifra significativa entre 1 y 9, parte decimal una sola cifra.
• Base, es la base decimal (10).
• Exponente, es un número entero, indica el número de veces que se desplaza la coma o el punto decimal.

Potencia de $10 (+)$. Siempre que movemos la coma decimal hacia la izquierda. ( ← )

Potencia de $10 (-)$. Siempre que movemos la coma decimal hacia la derecha. ( → ).

Capitulo I. Conceptos preliminares $\qquad$

En el sistema decimal, cualquier número $\mathbb{R}$ puede expresarse en notación científica, veamos la representación del siguiente número:

• 9 x 10²⁴ $\quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad 9.000.000.000.000.000.000.000.000$
• 3 x 10^-8 $\quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad 0,00000003$
• 5,2 x 10¹⁰ $\quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad 52000000000$

xploremos.
Notación científica.

Escribe un número en notación científica y oprime el botón expresar para ver en forma decimal.

Operaciones en notación científica.

Para sumar o restar números en notación científica, éstos deben tener el mismo exponente en la potencia de 10.

Una vez todos los números tienen el mismo exponente, tan sólo hay que sumar y restar los números que multiplican a la potencia de base 10, sacando factor común a la potencia de 10.

= 5,5 x 10¹⁸ + 3 x 10¹⁸

= 10¹⁸ . ( 5,5 + 3 ) $\quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad$ Factor común.

= 8,8 x 10¹⁸ $\quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad$ Suma números decimales.

Para multiplicar o dividir números en notación científica, hay que tener en cuenta las propiedades de las potencias.

= ( 3,2 x 3 ) x 10^{25 - 18} $\quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad$ Propiedades de potencias.

= 9,6 x 10⁷ $\quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad$ Multiplicación números decimales.

Se pueden presentar expresiones combinadas entre operaciones.

Capitulo I. Conceptos preliminares $\qquad$

Practiquemos

jercicio 1. Clasificación de los números.

Arrastrar los números a cada recuadro según su conjunto numérico, ubicarlo en el conjunto más pequeño al que pertenezcan.

Indicación. Arrastrar el número al recuadro que corresponda, según el primer conjunto al que pertenece.

¡Recuerda! , todos los conjuntos numéricos pueden ser representados en la recta numérica.

Proyecto Descartes.org.
Tomada de Plantillas con Descartes-JS

jercicio 2. Identifica el conjunto numérico.

$\mathbb{N}$ (Naturales), $\mathbb{Z}$ (Enteros), $\mathbb{Q}$ (Racional), $\mathbb{Q*}$ (Irracional) o $\mathbb{R}$ (Reales).

Oprime el botón correspondiente al conjunto numérico al cual pertenece el número dado y verifica tu respuesta.

Capitulo I. Conceptos preliminares $\qquad$

jercicio 3.

Práctica resolviendo los siguientes ejercicios con números reales en operaciones básicas, realiza paso a paso su debido procedimiento.

Actividad complementaria.
$\space$ Descargar para imprimir

Evaluamos lo aprendido.
Prepárate para la evaluación y mide tus conocimientos de lo aprendido en este capítulo, responde las preguntas a continuación:

Evaluación - 5x2 preguntas con límite de tiempo - (20 minutos)
Clic en el link, responde y envía los resultados por e-mail.

Capítulo I: Conceptos preliminares.
Evalúa lo aprendido en el capítulo y envía a tu profesor(a).

$\quad$ Envía tu evaluación
$\space$ Evaluación: Capítulo I

Tomada de la Red Educativa Digital Descartes.
Plantillas con Descartes-JS

"Las matemáticas son la puerta y la llave a la ciencia".
Roger Bacon

Potenciación, Radicación
y Logaritmación

DERECHOS BÁSICOS DE APRENDIZAJE (DBA)

DBA.2. Construye representaciones, argumentos y ejemplos de propiedades de los números racionales y no racionales.

DBA.3. Reconoce los diferentes usos y significados de las operaciones (convencionales y no convencionales) y del signo igual (relación de equivalencia e igualdad condicionada) y los utiliza para argumentar equivalencias entre expresiones algebraicas y resolver sistemas de ecuaciones..

Derechos Básicos de Aprendizaje - Grado 8°.

DESEMPEÑOS / ESTÁNDAR

Pensamiento numérico.
1.2 M.IV Resuelvo problemas y simplifico cálculos usando propiedades y relaciones de los números reales y de las relaciones y operaciones entre ellos. DBA 3.
1.4 M.IV Identifico y utilizo la potenciación, la radicación y la logaritmación para representar situaciones matemáticas y no matemáticas y para resolver problemas. DBA 3.

El desarrollo de estos Estándares Básicos de Competencia permitirá fortalecer los procesos de formulación, modelación y resolución de problemas.

Capitulo II. Potenciación, Radicación y Logaritmación $\qquad$

Potenciación

En la nomenclatura de la potenciación se diferencian tres partes, la base, el exponente y la potencia.

Una potencia es el resultado de multiplicar un número por sí mismo varias veces. El número que multiplicamos se llama base, el número de veces que multiplicamos la base se llama exponente.

Practiquemos con los elementos de la potenciación.

1. Ingresa base y exponente del ejercicio propuesto, oprime la tecla "enter <┘" para verificar, oprime el botón otro ejercicio.

2. Ingresa base y exponente del ejercicio propuesto, escribe la potencia, oprime la tecla "enter <┘" para verificar, oprime el botón otro ejercicio.

Capitulo II. Potenciación, Radicación y Logaritmación $\qquad$

Propiedades de la potenciación

Las propiedades de la potenciación son válidas para todos los conjuntos numéricos.

• Todo número diferente de cero, elevado a un exponente cero es igual a uno.

  $a^0=1$

• Todo número diferente de cero, elevado a un exponente uno es igual a el mismo. $$a^1=a$$

xploremos

Verifica lo aprendido en esta sección, oprime las fechas y sigue paso a paso como aplicar la propiedad de potencia de una potencia.

Capitulo II. Potenciación, Radicación y Logaritmación $\qquad$

Aplicando propiedades de potenciación.

Indicaciones.

1. Para iniciar, haz click en el botón ejercicio , soluciona el ejercicio propuesto, ingresa los resultados en el campo indicado, el exponente, la base y pulsa la tecla "enter <┘", verifica tu respuesta oprime el botón solución .
2. Oprime de nuevo el botón ejercicio y repite el mismo procedimiento, completa tu ejercicio y verifica cuantas buenas obtienes.

Radicación

Las expresiones radicales son expresiones que incluyen un radical, el cual es el símbolo de calcular una raíz.

En la nomenclatura de la radicación se tienen las siguientes partes:

Capitulo II. Potenciación, Radicación y Logaritmación $\qquad$

Propiedades de los radicales

$$(\sqrt[3]{x^2})^4 = (x^\frac{2}{3})^4 = x^\frac{8}{3} = \sqrt[3]{x^8}$$ $$(\sqrt[3]{x^2})^4 = \sqrt[3]{x^8}$$

Operaciones con expresiones radicales

Para operar sumas o restas de expresiones radicales, deben tener el mismo índice y el mismo radicando, o sea radicandos semejantes.

Simplificar expresiones radicales.

Para simplificar expresiones radicales con diferente índice, buscamos términos exponenciales dentro del radical, aplicamos la descomposición en factores primos y las reglas de los exponentes.

Se debe llevar a un índice común (m.c.m.) y se expresa en una sola raíz, simplificando la expresión si es posible, como por ejemplo:

Capitulo II. Potenciación, Radicación y Logaritmación $\qquad$

Operaciones con expresiones radicales.

1. Oprime el botón ejercicio y soluciona el ejercicio propuesto.
2. Ingresa el coeficiente numérico, el valor del radical y pulsa la tecla "enter <┘" para verificar tu respuesta oprime el botón solución .
3. Oprime de nuevo el botón ejercicio y repite el procedimiento, completa tu ejercicio y verifica cuantos buenos obtienes.

Simplificar expresiones radicales.

Indicaciones
Practica lo aprendido en esta sección, resuelve los 10 ejercicios propuestos.

1. Para iniciar, oprime el botón ejercicio y resuelve el ejercicio propuesto.
2. Ingresa el índice del radical, el exponente del radical y el exponente del coeficiente, y pulsa la tecla "enter <┘" para verificar tu respuesta oprime el botón solución .
3. Oprime de nuevo el botón ejercicio y repite el mismo procedimiento, completa tu ejercicio y verifica cuantos buenos obtienes.

Capitulo II. Potenciación, Radicación y Logaritmación $\qquad$

Racionalización

La racionalización consiste en eliminar los radicales del denominador.

Una expresión es considerada simplificada solo si no tiene signos de radical en el denominador. Si tenemos un radical en el denominador, tenemos que racionalizar dicho denominador.

Para racionalizar un denominador, se puede presentar:

En este caso, se logra multiplicando tanto el numerador como el denominador por el mismo radical que tiene el denominador.

$$\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}.\frac{\color{blue}\sqrt{5}}{\color{blue}\sqrt{5}}=\frac{2 \sqrt{5}}{(\sqrt{5})^2}= \frac{2 \sqrt{5}}{5}$$

Para este caso, multiplicamos tanto el numerador como el denominador por el mismo radical que tiene el denominador elevado a la diferencia entre el índice de la raíz y su exponente.

$$\frac{3}{6\sqrt[5]{3}}=\frac{3}{6\sqrt[5]{3}}.\frac{\color{blue}\sqrt[5]{3^{5-1}}}{\color{blue}\sqrt[5]{3^{5-1}}}=\frac{3}{6\sqrt[5]{3}}.\frac{\color{blue}\sqrt[5]{3^{4}}}{\color{blue}\sqrt[5]{3^{4}}}=$$ $$=\frac{3\sqrt[5]{3^{4}}}{6\sqrt[5]{3}\sqrt[5]{3^{4}}}=\frac{3\sqrt[5]{3^{4}}}{6\sqrt[5]{3^{5}}}=\frac{\cancel{3}\sqrt[5]{3^{4}}}{6.\cancel{3}}=\frac{\sqrt[5]{3^{4}}}{6}$$

Logaritmos

El logaritmo es el exponente de una potencia con cierta base, el logaritmo de un número debe ser positivo, es decir, el número y la base de un logaritmo corresponde a números $\mathbb{R}$ (números positivos).

El logaritmo de $a$ en base $b$ es otra forma de expresar la potenciación con $b>0$ y $a$ un número $\mathbb{R}$ positivo, se denota como:

• $\displaystyle \log_3{(81)} =4 \quad $ porque $\quad \displaystyle 3^4=3\times 3\times 3\times 3=81$
• $\displaystyle \log{(100)} =2 \quad$ porque $\quad \displaystyle 10^2=10\times 10=100$
• $\displaystyle \log_3{(\frac19)} =-2 \quad$ porque $\quad \displaystyle 3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac19$

Capitulo II. Potenciación, Radicación y Logaritmación $\qquad$

Propiedades de los logaritmos.

$$\log_5 (25)=\log_5(5^2)=2\cdot\log_5(5)=2\cdot(1)=2$$

$$\log_4{(2)} + log_4{(32)}$$

Solución.
$$\log_4{(2)} + \log_4{(32)} = \log_4{(2.32)} = \log_4 {(64)} $$

$$\log_4{(4^3)} = 3\cdot \log_4{(4)} = 3\cdot(1) = 3$$

Practiquemos

jercicio 1.
Resuelve y simplifica aplicando las propiedades de potenciación.

Actividad complementaria.
$\space$ Descargar para imprimir

Capitulo II. Potenciación, Radicación y Logaritmación $\qquad$

jercicio 2.
Resuelve los ejercicios propuesto a continuación.

Indicaciones
Resuelve y simplifica aplicando las propiedades de potenciación.

1. Selecciona el tipo de ejercicio a solucionar.
2. Resuelva el ejercicio propuesto y verifica tus respuestas.
3. Pulsa el botón solución para ver las respuestas.
4. Si desea realizar otro ejercicio, oprima otro tipo de ejercicio y repite los pasos anteriores.

Evaluamos lo aprendido.
Prepárate para la evaluación y mide tus conocimientos de lo aprendido en este capítulo, responde las preguntas a continuación:

Evaluación - 12 preguntas con límite de tiempo - (12 minutos)
Clic en el link, responde y envía los resultados por e-mail.

Capítulo II: Potenciación, radicación y logaritmos.
Evalúa lo aprendido en el capítulo y envía a tu profesor(a).

$\quad$ Envía tu evaluación
$\space$ Evaluación: Capítulo II

Tomada de la Red Educativa Digital Descartes.
Plantillas con Descartes-JS

"La vida es buena por sólo dos cosas, descubrir
y enseñar las matemáticas".
Simeon Poisson

Expresiones Algebraicas

DERECHOS BÁSICOS DE APRENDIZAJE (DBA)

DBA.1. Reconoce la existencia de los números irracionales como números no racionales y los describe de acuerdo con sus características y propiedades.

DBA.2. Construye representaciones, argumentos y ejemplos de propiedades de los números racionales y no racionales.

DBA.3. Reconoce los diferentes usos y significados de las operaciones (convencionales y no convencionales) y del signo igual (relación de equivalencia e igualdad condicionada) y los utiliza para argumentar equivalencias entre expresiones algebraicas y resolver sistemas de ecuaciones..

DBA.8. Identifica y analiza relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de expresiones algebraicas y relaciona la variación y covariación con los comportamientos gráficos, numéricos y características de las expresiones algebraicas en situaciones de modelación.

DBA.9. Propone, compara y usa procedimientos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba conjeturas en diversas situaciones o contextos.

Derechos Básicos de Aprendizaje - Grado 8°.

DESEMPEÑOS / ESTÁNDAR
Pensamiento numérico
1.1 M.IV Utilizo números reales en sus diferentes representaciones y en diversos contextos. DBA 1, 2.
Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos
5.2 M.IV Construyo expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada. DBA 3, 9.
5.3 M.IV Uso procesos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba conjeturas. DBA 8.

Capitulo III. Expresiones algebraicas $\qquad$

Expresiones algebraicas

Definiciones preliminares

1. Expresión algebraica:

Combinación de números, letras, signos de agrupación, con operaciones indicadas, por ejemplo:

2. Términos en una expresión algebraica:

Se llama término en una expresión algebraica, a cada parte de ella que viene a ser separada por el signo mas $( + )$ ó el signo menos $( - )$. Los términos están formados por números y letras o expresiones combinadas multiplicadas entre sí (llamados factores).

3. Términos semejantes:

Aquéllas expresiones que poseen una misma parte, bien sea literal (letras) o radical (raíces), por ejemplo:

xploremos.
Ingresa los valores de $x, y, z$ y evalúa la expresión propuesta.

Capitulo III. Expresiones algebraicas $\qquad$

xploremos

Observa las siguientes expresiones algebraicas, pulsa los controles para desplazarse por las diferentes frases y observa la escritura matemáticas de la expresión algebraica.

Escena de Consolación Ruiz Gil con licencia CC by-nc-sa

Cuándo un término en apariencia no presenta coeficiente numérico, como en la expresión algebraica "$b \space – \space 4c$" en donde $b$ es el término que en apariencia no presenta coeficiente numérico, se asume la unidad como su coeficiente numérico, donde, el término $b = 1b$.

xploremos.
Identifica los términos de una expresiones algebraicas.

Indicaciones. Sigue las instrucciones que se muestran en cada pantalla, oprime las flechas para avanzar o retroceder a otra escena.

Capitulo III. Expresiones algebraicas $\qquad$

Para simplificar monomios que se suman o restan, estos deben contener términos semejantes, los coeficientes de cada monomio que tienen la misma parte literal se suman o restan, y se deja igual la parte literal, por ejemplo, simplifiquemos la expresión algebraica

$$\quad 20x^2y + 12x^2y - 3x^2y$$

Término semejante (llamaremos factor común) $\quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad x^2y$.
Operación con los coeficientes $\quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad 20+12-3=29 $.

$$20x^2y + 12x^2y - 3x^2y = 29x^2y$$

Simplificar términos semejantes en expresiones algebraicas cuando sea posible.

Actividad complementaria.
$\space$ Descargar para imprimir

Capitulo III. Expresiones algebraicas $\qquad$

Operaciones entre polinomios

¿Que es un polinomios?

Son expresión algebraica con características especiales, así por ejemplo un polinomio en la variable $x$, es una expresión de la forma:

El grado de un polinomio $P(x)$ es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable $x$.

Elementos de un polinomio:

• $n$ es un entero no negativo.
• a_n, a_n-1, a_n-2, …, a₁, a₀ son números reales.
• a_n, a_n-1, a_n-2, …, a₁ son coeficientes del polinomio.
• a_n es el coeficiente principal.
• a₀ es el término independiente.

Algunos polinomios reciben nombres especiales de acuerdo con el número de términos que posean, por ejemplo:
Monomio (un termino) $\quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad 5x^2$
Binomio (dos términos) $\quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad 2b +3$
Trinomio (tres términos) $ \quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad 3y^2-2y+5$

Suma y resta de polinomios

Veamos el proceso para sumar dos polinomios, sean $P_1(x)$, $P_2(x)$:

$$P_1(x) = x^3 + 2x^2 – 5x + 7$$ $$P_2(x) = 4x^3 – 5x^2 + 3$$

1. Se coloca el primer polinomio y a continuación se le suma o adiciona el segundo polinomio.
   
   

   $P_1 + P_2 = ( x^3 + 2x^2 – 5x + 7 ) + ( 4x^3 – 5x^2 + 3 )$

2. Se eliminan signos de agrupación ( paréntesis, llaves, corchetes )
   
   

   $P_1 + P_2 = x^3 + 2x^2 – 5x + 7 + 4x^3 – 5x^2 + 3$

   Si a un signo de agrupación (paréntesis, llaves, corchetes) lo antecede un signo mas (+), al eliminar el signo de agrupación, todos los términos que haya dentro de él quedarán con los mismos signos, pero si al signo de agrupación lo antecede un signo menos (-), o sea en la resta, al eliminar el signo de agrupación todos los términos dentro de éste cambian de signo.

Capitulo III. Expresiones algebraicas $\qquad$

3. Realizar las sumas o restas de términos semejantes, los que no son semejantes se dejan igual, luego organizar los términos en orden creciente o decreciente para la variable si es el caso.

   $P_1 + P_2 =( x^3 + 4x^3 ) + ( 2x^2 – 5x^2 ) – 5x + ( 7 + 3 )$

   Por lo tanto, el resultado de la suma de $P_1 + P_2$ es:

   $P_1 + P_2 = 5x^3 - 3x^2 – 5x + 10$

xploremos.
Dados los polinomios $P_1(x)$, $P_2(x)$ de grado 3, observa la suma entre ellos, oprime el botón otro ejemplo para ver diferentes polinomios.

xploremos.
Polinomios - suma y resta de expresiones algebraicas.

Verifica los conocimientos de lo visto en esta sección, explora la siguiente escena interactiva.

Indicaciones.
Sigue las instrucciones que se muestran en cada pantalla, oprime las flechas para avanzar o retroceder a otra escena.

Capitulo III. Expresiones algebraicas $\qquad$

Producto de monomios entre si

1. Se multiplican los coeficientes numéricos de los términos, aplicando ley de signos:
   

   Signos iguales	Signos diferente
   $( + ) \cdot ( + ) = ( + )$ $( - ) \cdot ( - ) = ( + )$	$( + ) \cdot ( - ) = ( - )$ $( - ) \cdot ( + ) = ( - )$

2. Se aplica a la parte literal propiedades de potenciación, producto de potencias de bases iguales:
   
   

   $$ b^m b^n = b^{m+n}$$

Producto de polinomios

Para multiplicar polinomios entre sí, se aplica la propiedad distributiva, multiplicando cada término del primer polinomio por todo el segundo polinomio, ejemplo:

$(3x + 4) \cdot (5x – 7) = 3x \cdot(5x – 7) + 4 \cdot (5x – 7)$

Se aplica propiedad distributiva.

$= [ (3x) \cdot (5x) – 7 \cdot (3x) ] + [ 4 \cdot (5x) – (4) \cdot (7) ] $

Suma de términos semejantes.

$= 15x^2 – 21x + 20x – 28 $

por tanto, el producto de los polinomios es:

$(3x + 4) \cdot(5x – 7) = 15x^2 – x – 28$

Se debe tener en cuenta la ley de signos entre los términos a multiplicar, donde los positivos son aquéllos términos que los antecede un signo mas ( + ) ó aquéllos términos que en apariencia no poseen signo que los anteceda; y los negativos son aquéllos términos que los antecede un signo menos ( - ).

Capitulo III. Expresiones algebraicas $\qquad$

xploremos.
Binomios - multiplicación y división de expresiones algebraicas.

Verifica los conocimientos de lo visto en esta sección, explora la siguiente escena interactiva.

Indicaciones.
Sigue las instrucciones que se muestran en cada pantalla, oprime las flechas para avanzar o retroceder a otra escena.

Productos notables

Productos que tienen su base en la potenciación de polinomios.

1. Cuadrado de la suma de dos términos

Corresponde al cuadrado del primer término, mas el doble producto del primer término por el segundo término, mas el cuadrado del segundo término, veamos como se genera:

$(a + b)^2 = (a + b) . (a + b) \quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad$ Definición de potencia

$(2m + 3)^2 = (2m)^2 + 2 . (2m) . (3) + (3)^2 = 4m^2 + 12m + 9$

2. Cuadrado de la diferencia de dos términos

Corresponde al cuadrado del primer término, menos el doble producto del primer término por el segundo término, mas el cuadrado del segundo término, veamos como se genera:

$(a - b)^2 = (a - b) . (a - b) \quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad$ Definición de potencia

$(y - 5x)^2 = (y)^2 - 2 . (y) . (5x) + (5x)^2 = y^2 - 10xy + 25x^2$

Capitulo III. Expresiones algebraicas $\qquad$

Si se tienen tres o más términos elevados al cuadrado, se agrupan de tal forma que formen un binomio y se aplica la misma definición:

xploremos.
Aplicación de productos notables.

Escribe los valores de los coeficientes, los exponentes, pulsa "enter <┘" y observa el resultado cuando tiene diferentes exponentes dentro de los términos del binomio.

Observa la descomposición al modificar los valores de los coeficientes $a$ y $b$, los exponentes $n$ y $m$ para obtener el binomio $(ax^n + by^m )^2$.

xploremos.
Productos notables y factorización.

Verifica los conocimientos de lo visto en esta sección, explora la siguiente escena interactiva.

Indicaciones.
Sigue las instrucciones que se muestran en cada pantalla, oprime las flechas para avanzar o retroceder a otra escena.

Capitulo III. Expresiones algebraicas $\qquad$

3. Potencias de binomios

Los binomios se desarrollan de la siguiente forma:

Detallando el desarrollo de los binomios se tiene que:

1. El número de términos del resultado es uno más que el exponente del binomio.
   
2. El exponente del primer y último término del binomio, son iguales al exponente del binomio.
   
3. El exponente de “$a$” disminuye de uno en uno en cada término y en cambio “$b$” aumenta de uno en uno para cada término.
   
4. Todos los términos del desarrollo de cada binomio son positivos, pero fueran de la forma $(a – b)^2, (a – b)^3, (a – b)^4,…,$ los signos alternarían : $( + ), ( - ), ( + ), ( - ), …$
   
5. Al analizar los coeficientes numéricos para cada término del desarrollo de un binomio se observa que son simétricos.

Triángulo de Pascal.

Los términos simétricos tienen los mismos coeficientes, la simetría de los términos permite disponer los coeficientes de cada binomio en forma de un triángulo como se muestra a continuación:

Con el triángulo de Pascal, se deduce:

• Los coeficientes de los términos del extremo son iguales a uno.
  
• Sumando dos coeficientes seguidos de una fila, se obtiene un coeficiente de la fila siguiente.

$(m)^5 – 5(m)^4(2n) + 10(m)^3(2n)^2 – 10(m)^2(2n)^3+ 5(m)(2n)^4 – (2n)^5$

$(m – 2n)^5 = m^5 – 10m^4n + 40m^3n^2 – 80m^2n^3 + 80mn^4 – 32n^5$

Capitulo III. Expresiones algebraicas $\qquad$

División de polinomios

1. División de monomios

Para dividir dos monomios:

1. Se dividen los coeficientes, aplicando la ley de los signos.
2. En la parte literal, se le aplica la propiedad de división de potencias de igual base:

Sólo se pueden dividir monomios con la misma parte literal y con el grado del dividendo mayor o igual que el grado de la variable (letra) correspondiente del divisor.

En la división de los coeficientes de cada monomios también se aplica la ley o regla de los signos, ya que la división algebraica de monomios consiste en una operación aritmética.

División de monomios, simplificar:

Simplifique la siguiente expresión algebraica que contienen división entre monomios.

Indicaciones.

1. Resuelve el ejercicio propuesto
2. Oprime el botón solución para verificar el procedimiento.
3. De nuevo, oprime el botón otro ejercicio para un ejercicio nuevo y repite los pasos.

Capitulo III. Expresiones algebraicas $\qquad$

2. División de un polinomio por un monomio

Para dividir un polinomio por un monomio, se divide cada término del polinomio por el monomio, teniendo en cuenta la ley de signos y las propiedades de la potencia de bases iguales.

3. División de un polinomio por otro polinomio

Tengamos en cuenta los siguientes pasos:

1. Ordenamos los polinomios en orden decreciente.
2. Dividimos el primer término del dividendo por el primer término del divisor, para obtener el primer término del cociente.
3. Multiplicamos este primer término del cociente por cada uno de los términos del divisor y el resultado lo restamos del dividendo, así obtenemos un dividendo parcial.
4. Continuamos a partir de este dividendo parcial, conforme lo indicamos en los paso 2 hasta obtener un residuo de menor exponente que el divisor.
5. Si el resultado es cero la división es exacta.

Para hacer la división, se dividen los monomios de mayor grado, luego, se multiplican cambiando de signo, y se suman, este proceso se repite hasta obtener un resto de grado menor que el del divisor.

El grado del cociente es la resta del grado del dividendo y del divisor; cuando el resto es cero, el divisor divide exactamente al dividendo. Observemos por medio de la escena la división de polinomios:

Escena de Consolación Ruiz Gil con licencia CC by-nc-sa

Capitulo III. Expresiones algebraicas $\qquad$

División de polinomios con los coeficientes.

Se escriben los coeficientes del dividendo y del divisor, se dividen los primeros coeficientes, se multiplica el resultado por el divisor del último coeficiente y se resta al dividendo.

xploremos.
Observa los tres niveles de la escena:

Escena de Consolación Ruiz Gil con licencia CC by-nc-sa

Practiquemos

jercicio 1.

Simplifique la siguiente expresión algebraica que contienen operaciones de sumas, restas, productos, cocientes o potencias.

Indicaciones.

1. Resuelve el ejercicio propuesto, oprime el botón solución y verificar la respuesta.
2. De nuevo oprime el botón ejercicio para otro ejercicio.

Capitulo III. Expresiones algebraicas $\qquad$

jercicio 2.

Mide tus conocimientos en la siguiente actividad interactiva.

Ten cuidado al soltar el objeto, es posible que quede debajo de otro, si esto ocurre, aparecerá un cuadrado de color verde.

Proyecto Descartes.org.
Tomada de Plantillas con Descartes-JS

Evaluamos lo aprendido.
Prepárate para la evaluación y mide tus conocimientos de lo aprendido en este capítulo, responde las preguntas a continuación:

Evaluación - 10 preguntas con límite de tiempo - (10 minutos)
Clic en el link, responde y envía los resultados por e-mail.

Capítulo III: Expresiones algebraicas.
Evalúa lo aprendido en el capítulo y envía a tu profesor(a).

$\quad$ Envía tu evaluación
$\space$ Evaluación: Capítulo III

Tomada de la Red Educativa Digital Descartes.
Plantillas con Descartes-JS

"Las matemáticas consisten en demostrar
las cosas más obvias de la forma menos obvia".
George Polye

Factorización

DERECHOS BÁSICOS DE APRENDIZAJE (DBA)

DBA.3. Reconoce los diferentes usos y significados de las operaciones (convencionales y no convencionales) y del signo igual (relación de equivalencia e igualdad condicionada) y los utiliza para argumentar equivalencias entre expresiones algebraicas y resolver sistemas de ecuaciones..

DBA.5. Utiliza teoremas, propiedades y relaciones geométricas (teorema de Tales y el teorema de Pitágoras) para proponer y justificar estrategias de medición y cálculo de longitudes.

DBA.9. Propone, compara y usa procedimientos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba conjeturas en diversas situaciones o contextos.

Derechos Básicos de Aprendizaje - Grado 8°.

DESEMPEÑOS / ESTÁNDAR

Pensamiento espacial
2.4 M.IV Uso representaciones geométricas para resolver y formular problemas en las matemáticas y en otras disciplinas. DBA 5.
Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos
5.2 M.IV Construyo expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada. DBA 3, 9.

El desarrollo de estos Estándares Básicos de Competencia permitirá fortalecer los procesos de formulación, modelación y resolución de problemas.

Capitulo IV. Factorización $\qquad$

Casos de factorización de polinomios

Factorizar un polinomio es expresarlo como el producto de otros polinomios que tengan menor grado que éste. Casos de factorización:

Factor común

Hace referencia al término común de un polinomio, pueden ser factores numéricos o factores literales. Para encontrar el factor común, se realiza lo siguiente:

1. Encontrar el factor común numérico que corresponde al $M.C.D$ de los coeficientes del polinomio común.
   ($MCD \to$ factores comunes elevados a su menor exponente).
2. El factor común literal está conformado por aquellas letras que están elevadas a su menor exponente.
3. El factor común para el polinomio corresponde a la multiplicación del factor común numérico con el factor común literal.

Encontrar el factor común para el polinomio: $3m^3 – 6m^2n$

Factor común numérico: $\quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad MCD (3,6) = 3$
Factor común literal: $\quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad m^2$
por tanto, el factor común del polinomio es : $\quad 3m^3 – 6m^2n = 3m^2$

xploremos.

Veamos por medio de un paso a paso como hallar el factor común de un polinomio, pulsa en botón para cada paso y sigue las instrucciones.

Capitulo IV. Factorización $\qquad$

Una vez encontrado el factor común a los términos del polinomio, se procede a encontrar los términos que quedan al sacar el factor común, dividiendo cada término del polinomio por este factor, quedando en ésta forma factorizado completamente el polinomio.

Diferencia de cuadrados

Se caracteriza por ser una diferencia (resta) entre dos términos que poseen raíz cuadrada exacta.

Expresar la raíz cuadrada de cada termino.

$$9a^2 – b^2$$

Raíz cuadrada del primer término $\quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad 3a$
Raíz cuadrada del segundo término $\quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad b$

Una diferencia de cuadrados se factoriza como la suma de las raíces cuadradas, multiplicada por la diferencia de las mismas, simbólicamente se tiene:

Factorizar: $\quad 25p^2-4q^2$

$\sqrt{25p^2}\qquad \sqrt{4p^2}\quad$
$\quad 5p \qquad \qquad 2q \quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad $ Raíz cuadrada de cada termino

Por tanto, $\quad 25p^2-4q^2=(5p-2q)(5p+2q)$

Factorizar los siguientes polinomios si es posible.

Capitulo IV. Factorización $\qquad$

xploremos.
Productos notables y factorización.

Verifica los conocimientos de lo visto en esta sección, explora la siguiente escena interactiva.

Indicaciones.
Sigue los pasos para la demostración gráfica.

Trinomio de la forma $x^2 + bx + c$

El trinomio de la forma $x^2 + bx + c$, siempre que $x^2 + bx + c=0$ tenga solución, equivale al producto de dos binomios o factores, estos trinomios se factorizan de la siguiente forma:

Donde el primer término de cada binomio, es la raíz cuadrada del primer término del trinomio "$x$" y los segundos términos de cada binomio son los números $p$ y $q$, donde

La suma $\quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad p + q = b$

El producto $\quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad p\cdot q = c$

$x^2 + 8x + 15 = ( x + 3 )( x + 5 ) \quad $ entonces, $$\sqrt{x^2}=x, \qquad 8=3+5, \qquad 15=(3).(5)$$

Capitulo IV. Factorización $\qquad$

Practiquemos factorizando algunos trinomios, si es posible.

Ingresa los coeficientes $p, q$, pulsa la tecla "enter <┘", cambia los signos de cada factor con el botón + o - y oprime el botón verificar

Se factoriza de igual manera, donde,

$\begin{cases} b = (-3 + 2) = -1 \\ c = (-3)(2) = -6 \end{cases}$ $\quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad x^4 – x^2 – 6 = ( x^2 - 3 )( x^2 + 2 )$

Trinomio de la forma $ax^2 + bx + c$

Estos trinomios se factorizan de la siguiente forma:

Se caracterizan por ser muy parecidas a la forma $x^{2n} + bx^n + c$, con la diferencia de que la variable $x^{2n}$ ya tiene un coeficiente "$a$" diferente de cero y uno.

$2x^2 + 7x – 15$, $\quad 3x^2 + 17x + 10,$ $\quad 5x^2 – 17x + 6$

Simbólicamente se tiene que:

$ax^{2n} + bx^n + c \quad \to \quad$ trinomio dado,

$\displaystyle \frac{a(x^{2n} + bx^n + c)}{a} \quad \to \quad$ multiplicamos y dividimos por $a$,

$\displaystyle \frac{ax^{2n} + (a)bx^n + a.c}{a} \quad \to \quad$ aplicamos propiedad distributiva,

El primer termino de cada binomio será: $\quad ( ax^n + p )( ax^n + q )$

por tanto, $\quad (ax^n)^2 + b(ax^n) + ac = ( ax^n + p )( ax^n + q )$,

donde $\quad \sqrt{(ax^n)^2}=ax^n, \qquad b=p+q, \qquad a\cdot c=p \cdot q$

Capitulo IV. Factorización $\qquad$

Multiplicamos y dividimos por $3 \quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad \frac33 \cdot (x^{2} + 17x + 10)$

Aplicamos propiedad distributiva $\quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad \displaystyle \frac{3x^{2} + 17(3x) + 30}{3}$

$\begin{cases} 17=15+2 \\ 30=(15)(2) \end{cases} \quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad \displaystyle \frac{(3x+15)(3x+2)}{3} = \frac{3(x+5)(3x+2)}{3}$
$\qquad \qquad \qquad \space \space \quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad 3x^2 + 17x + 10=(x+5)(3x+2)$

Factorizar los trinomios de la forma $ax^2 + bx + c$.

Ingresa los coeficientes $c_1, c_2, p, q$, pulsa la tecla "enter <┘", cambia los signos de cada factor con el botón + o - y oprime el botón verificar

xploremos.
Productos notables y factorización.

Verifica los conocimientos de lo visto en esta sección, explora la siguiente escena interactiva.

Indicaciones.
Utilizar la piezas dadas para formar un rectángulo del área dada.

Capitulo IV. Factorización $\qquad$

Suma de cubos

Se trata de suma entre dos términos cuya característica es que pueden expresarse como cantidades que se pueden elevar al cubo, por lo tanto cada término posee raíz cúbica exacta.

Para factorizar una suma de cubos, se tiene en cuenta lo siguiente:

1. Una suma de cubos es igual al producto de un binomio (dos términos) por un trinomio (tres términos).
2. El binomio está formado por la suma de las raíces cúbicas.
3. El trinomio consta de: cuadrado de la primera raíz, producto de las dos raíces y cuadrado de la segunda raíz.
4. Los signos del trinomio son: $( + ) , ( – ) , ( + )$.

Se tiene que: $\quad x^3 + 27 = x^3 + 3^3$

Raíz cúbica del primer término $\quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad x$
Raíz cúbica del segundo término $\quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad 3$

$\begin{cases}\sqrt[3]{y^3}=y \\ \sqrt[3]{64x^3}=4x \end{cases},\quad$ donde $\quad (y + 4x)(y^2 - 4xy + 16y^2)$

Diferencia de cubos

Se trata de resta entre dos términos cuya característica es que pueden expresarse como cantidades que se pueden elevar al cubo, por lo tanto cada término posee raíz cúbica exacta.

Para factorizar una diferencia de cubos, se tiene en cuenta lo siguiente:

1. Una diferencia de cubos es igual al producto de un binomio (dos términos) por un trinomio (tres términos).
2. El binomio está formado por la diferencia de las raíces cúbicas.
3. El trinomio consta de: cuadrado de la primera raíz, producto de las dos raíces y cuadrado de la segunda raíz.
4. Los signos del trinomio son: $( + ) , ( + ) , ( + )$.

Raíz cúbica del primer término $\quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad p$
Raíz cúbica del segundo término $\quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad 2k$

$\begin{cases}\sqrt[3]{y^3}=y \\ \sqrt[3]{64x^3}=4x \end{cases},\quad$ donde $\quad (y - 4x)(y^2 + 4xy + 16y^2)$

Capitulo IV. Factorización $\qquad$

Ahora, veamos algunos ejemplos de la factorización de suma y diferencia de cubos.

Factorización por agrupación

Algunos polinomios no se pueden factorizar directamente, mediante la aplicación de los casos vistos hasta ahora, sino que es necesario agrupar adecuadamente los términos antes de factorizar

Practiquemos

jercicio 1.
Factorizar los polinomios si se posible.

Actividad complementaria.
$\space$ Descargar para imprimir

Capitulo IV. Factorización $\qquad$

jercicio 2.

Mide tus conocimientos de lo aprendido en esta sección y resuelve la actividad interactiva siguiente.

Indicaciones
Factorizar diferencia de cuadrados.

Arrastrar las imágenes al recuadro en el orden que se realiza la factorización, ten presente que no queden imágenes montadas.

Proyecto Descartes.org.
Tomada de Plantillas con Descartes-JS

Evaluamos lo aprendido
Prepárate para la evaluación y mide tus conocimientos de lo aprendido en este capítulo, responde las preguntas a continuación:

Evaluación - 10 preguntas con límite de tiempo -
Clic en el link, responde y envía los resultados por e-mail.

Capítulo IV: Factorización.
Evalúa lo aprendido en el capítulo y envía a tu profesor(a).

$\quad$ Envía tu evaluación
$\space$ Evaluación: Capítulo IV

Tomada de la Red Educativa Digital Descartes.
Plantillas con Descartes-JS

"Ninguna investigación humana puede ser llamada verdadera
ciencia si no puede ser demostrada matemáticamente".

Leonardo da Vinci

Operaciones Algebraicas

DERECHOS BÁSICOS DE APRENDIZAJE (DBA)

DBA.3. Reconoce los diferentes usos y significados de las operaciones (convencionales y no convencionales) y del signo igual (relación de equivalencia e igualdad condicionada) y los utiliza para argumentar equivalencias entre expresiones algebraicas y resolver sistemas de ecuaciones..

DBA.8. Identifica y analiza relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de expresiones algebraicas y relaciona la variación y covariación con los comportamientos gráficos, numéricos y características de las expresiones algebraicas en situaciones de modelación.

DBA.9. Propone, compara y usa procedimientos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba conjeturas en diversas situaciones o contextos.

Derechos Básicos de Aprendizaje - Grado 8°.

DESEMPEÑOS / ESTÁNDAR

Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos
5.2 M.IV Construyo expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada. DBA 3, 9.
5.3 M.IV Uso procesos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba conjeturas. DBA 8.

El desarrollo de estos Estándares Básicos de Competencia permitirá fortalecer los procesos de formulación, modelación y resolución de problemas.

Capitulo V. Operaciones Algebraicas $\qquad$

Fracciones racionales

Simplificación de fracciones aritméticas

Una fracción aritmética está simplificada cuando el único factor común al numerador y al denominador es el número "$1$".

Para simplificar, cancelamos los factores comunes al numerador y al denominador.

Cuándo el denominador de una fracción es cero "$0$" se dice que la fracción no existe o no está definida.

Simplificación de fracciones racionales

Al igual que las fracciones aritméticas, decimos que una fracción algebraica está simplificada, cuando el único factor común al numerador y al denominador es el número "$1$", es decir, cuando el numerador y el denominador sean primos entre sí.

Para simplificar fracciones algebraicas procedemos de la forma:

1. Factorizamos el numerador y el denominador.
2. Suprimimos los factores comunes al numerador y denominador. ¡Cuidado!, no podemos cancelar sumandos).

En ocasiones, se requiere cambiar el orden de los términos de uno o varios factores, como en el ejemplo 2, el orden del factor $(x – 6)$, por eso se le antecedió con un signo menos antes del paréntesis y se cambió el orden de los términos dentro del paréntesis, quedando $-(6 - x)$.

Capitulo V. Operaciones Algebraicas $\qquad$

Simplificar de fracciones racionales

1. Primero selecciona el tipo de expresión a simplificar, luego, soluciona la expresión racional dada, verifica haciendo clic en el botón solución.
2. Por último, realiza el mismo procedimiento para otro ejercicio.

Escena de Consolación Ruiz Gil con licencia CC by-nc-sa

Operaciones entre fracciones racionales

Suma y diferencia de fracciones racionales

Para sumar o restar fracciones racionales hacemos lo siguiente:

1. Hallamos el mínimo común múltiplo (m.c.m) de los denominadores.
2. Dividimos el m.c.m. encontrado entre el denominador de cada fracción y lo multiplicamos por el numerador respectivo.
3. Efectuamos las operaciones indicadas y simplificamos el resultado, si es posible.

Simplificar $\quad\displaystyle x+3+\frac{6}{x-5}$

Expresamos el término $(x+3)$ como un fracción, se coloca de denominador un "$1$", y se opera con la otra fracción:

$\quad\displaystyle \frac{x+3}{1}+\frac{6}{x-5}= \frac{(x+3)(x-5) + 6}{x-5}=$

Aplicamos propiedad distributiva y se agrupan los términos semejantes, se verifica si es posible simplificar la expresión final obtenida.

$\quad\displaystyle \frac{x^2+3x-5x-15+6}{x-5}=\frac{x^2-2x-9}{x-5}$

Capitulo V. Operaciones Algebraicas $\qquad$

Simplifiquemos expresiones racionales de suma y diferencia

Producto de fracciones racionales

Para multiplicar fracciones racionales hacemos lo siguiente:

1. Factorizamos los numeradores y denominadores, si es posible.
2. Se multiplican numeradores entre sí y denominadores entre sí.
3. Suprimir (cancelar) los factores comunes que aparezcan entre el numerador y el denominador de las fracciones.

Simplificar productos de fracciones racionales

Resuelva el ejercicio propuesto, oprima el botón solución , verifique el procedimiento, para un nuevo ejercicio, oprima el botón ejercicio y repita los pasos.

Capitulo V. Operaciones Algebraicas $\qquad$

División de fracciones racionales

Para dividir fracciones racionales hacemos lo siguiente:

1. En primer lugar, la segunda fracción se cambia por su inverso multiplicativo, convirtiendo la división en una multiplicación.
2. Se continua con el mismo proceso de la multiplicación, factorizamos todos los numeradores y los denominadores.
3. Se multiplican numeradores entre sí y denominadores entre sí.
4. Suprimir (cancelar) los factores comunes que aparezcan entre el numerador y el denominador de las fracciones.

¡Recuerda! , en la división de fracciones, se multiplica en cruz o multiplicamos por el inverso multiplicativo de la 2° fracción:

$$\quad\displaystyle \frac{a}{b} \div \color{blue}{\frac{c}{d}}\color{black} = \frac{a}{b} \times \color{blue}{\frac{d}{c}}\color{black}=\frac{a \cdot d}{b \cdot c}$$

Simplifiquemos divisiones de expresiones racionales.

Resuelva el ejercicio propuesto, oprima el botón solución para verificar el procedimiento, para un nuevo ejercicio, oprima el botón ejercicio y repita los pasos.

• $$\displaystyle \frac{8}{5} \cdot \frac{10}{6} = \frac{8 \cdot 10}{5 \cdot 6}=\frac{\cancel{2} \cdot 4 \cdot 2 \cdot \cancel{5}}{\cancel{5} \cdot \cancel{2} \cdot 3}= \frac{8}{3} $$
• $$\displaystyle \frac{15}{2} \div \frac{5}{6} = \frac{15}{2} \times \frac{6}{5} = \frac{15 \cdot 6}{2 \cdot 5}=\frac{\cancel{5} \cdot 3 \cdot 3 \cdot \cancel{2}}{\cancel{2} \cdot \cancel{5}}= \frac{9}{1} =9$$

Capitulo V. Operaciones Algebraicas $\qquad$

Practiquemos

jercicio 1.

Simplifica las expresiones racionales dadas que contienen sumas, restas, productos o divisiones.

Indicaciones.

1. Resuelve el ejercicio propuesto
2. Oprime el botón solución para verificar el procedimiento.
3. Para un nuevo ejercicio, oprime el botón ejercicio y repita los pasos.

jercicio 2.

Simplifica las expresiones racionales dadas que contienen diferentes operaciones básicas como: sumas, restas, productos o divisiones.

1. Simplifica las expresiones racionales con contienen sumas y restas.

Capitulo V. Operaciones Algebraicas $\qquad$

2. Simplificar productos con expresiones racionales:

3. Simplificar divisiones con expresiones racionales.

Actividad complementaria.
$\space$ Descargar para imprimir

Evaluamos lo aprendido.
Prepárate para la evaluación y mide tus conocimientos de lo aprendido en este capítulo, responde las preguntas a continuación:

Evaluación - 5x2 preguntas con límite de tiempo - (25 minutos)
Clic en el link, responde y envía los resultados por e-mail.

Capítulo V: Operaciones Algebraicas.
Evalúa lo aprendido en el capítulo y envía a tu profesor(a).

$\quad$ Envía tu evaluación
$\space$ Evaluación: Capítulo V

Tomada de la Red Educativa Digital Descartes.
Plantillas con Descartes-JS

"La matemática es la reina de la ciencia,
y la aritmética la reina de la matemática".

Carl Friedrich Gauss

Ecuaciones

DERECHOS BÁSICOS DE APRENDIZAJE (DBA)

DBA.1. Reconoce la existencia de los números irracionales como números no racionales y los describe de acuerdo con sus características y propiedades.

DBA.2. Construye representaciones, argumentos y ejemplos de propiedades de los números racionales y no racionales.

DBA.8. Identifica y analiza relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de expresiones algebraicas y relaciona la variación y covariación con los comportamientos gráficos, numéricos y características de las expresiones algebraicas en situaciones de modelación.

DBA.9. Propone, compara y usa procedimientos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba conjeturas en diversas situaciones o contextos.

Derechos Básicos de Aprendizaje - Grado 9°.

DESEMPEÑOS / ESTÁNDAR

Pensamiento numérico
1.2 M.IV Resuelvo problemas y simplifico cálculos usando propiedades y relaciones de los números reales y de las relaciones y operaciones entre ellos. DBA 1, 2.
Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos
5.1 M.IV Identifico relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de las ecuaciones algebraicas. DBA8, 9
5.5 M.IV Identifico diferentes métodos para solucionar sistemas de ecuaciones lineales. DBA2, 8.

El desarrollo de estos Estándares Básicos de Competencia permitirá fortalecer los procesos de formulación, modelación y resolución de problemas.

Capitulo VI. Ecuaciones $\qquad$

Ecuaciones

¿Que es una ecuación?

Una ecuación consta de dos expresiones algebraicas relacionadas mediante una igualdad que contiene uno o más números desconocidos llamados incógnitas, por ejemplo:

$$ 6x - \frac{2}{3}x +2 = 5x - \frac{1}{3} \qquad (1)$$

La expresión a la izquierda del igual se conoce como primer miembro de la ecuación y la del lado derecho como segundo miembro de la ecuación.

Habitualmente a la incógnita la representamos con la letra $x$, que denominamos variable, en este caso, es una ecuaciones con una sola incógnita (letra en la ecuación).

Se puede presentar que en algunas ecuaciones se obtienen varias soluciones y se conocen como conjunto solución o raíces de la ecuación.

Ecuaciones lineales con una incógnita

Solucionar una ecuación es encontrar el valor de la incógnita que hacen verdadera la igualdad, transformando la ecuación a un equivalente de la forma $\color{blue}x = a$ utilizando diferentes propiedades, donde $\color{blue}a$ es solución o raíz de la ecuación original.

Para encontrar las soluciones de una ecuación, intentamos aislar la incógnita en uno de los miembros usando propiedades de los números reales y sus operaciones de forma que conserven la igualdad, observa el proceso de solución de la ecuación (1).

$$ 6x - \frac{2}{3}x + 2 = 5x - \frac{1}{3}$$ $$ 18x - 2x + 6 = 15x - 1 $$ $$ 18x - 2x - 15x = -6 - 1 $$ $$ x = -7 $$ ¿Identificas cada paso? (Ver explicación).

Las ecuaciones son nombradas según el grado, el cual corresponde al grado del polinomio, por ejemplo:

$ \qquad 18x - 2 = -6 \quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad $ Ecuación de primer grado o lineal.

Capitulo VI. Ecuaciones $\qquad$

¡Recuerda! , llamamos solución de la ecuación a los valores de $\color{blue}x$ que al sustituirlos en la ecuación resultan en una igualdad numérica. Decimos, entonces, que tal valor satisface la ecuación.

Observa la siguiente ecuación de primer grado con una incógnita:

$$ 4 - 6x = -2x -4(x-1)$$ $$ 4 - 6x = -2x -4x + 4$$ $$-6x + 6x = 4 - 4 $$ $$\qquad 0 = 0 $$

Cualquier valor que tome la incógnita, es solución de la ecuación:

Si $\quad x = 1 \quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad 4 - 6(1) = -2(1) -4((1)-1)$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\space -2 = -2 $

Si $\quad x = -3 \quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad 4 - 6(-3) = -2(-3) -4((-3)-1)$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 22 = 22 $

Por tanto, el conjunto solución son todos los números Reales ($\mathbb{R}$)

De lo anterior, podemos deducir que una ecuación de primer grado con una incógnita, su solución puede ser:

• Una única solución o raíz.
• No tener solución.
• Tener infinitas soluciones, ¿Cuándo se presenta esto?

Ecuaciones lineales con una incógnita.

1. Resuelve la ecuación propuesta.
2. Oprime el botón solución verifica el resultado, para un nuevo ejercicio, oprima el botón ejercicio y repita los pasos.

Capitulo VI. Ecuaciones $\qquad$

Situaciones problema con ecuaciones lineales

¿Estrategia para enfrentar una situación problema?

Si las variables que aparecen en un problema están relacionadas mediante una formula determinada, el problema se reduce a despejar y sustituir valores.

Algunas veces, las relaciones entre las variables del problema no vienen dadas en ninguna formula y es necesario determinar una ecuación que exprese la relación.

Para hacerlo es necesario estar bien familiarizado con el lenguaje cotidiano y expresarlo en forma adecuada por medio de expresiones algebraicas en lenguaje matemático.

Para la resolución de una situación problema, se tienen el siguiente método de análisis:

Método de resolución de problemas de Polya.

Método que fue generalizado por el matemático George Polya para analizar situaciones problema en cuatro pasos.

Al intentar resolver un problema es útil aplicar los siguientes pasos:

1. COMPRENDE, leer el problema cuidadosamente.

   Generalmente es necesario leer varias veces el problema hasta estar seguro de entender el significado y poder realizar la situación.

   En esta etapa no es necesario escribir ni formular ecuaciones, pero es conveniente en algunos casos hacer un diagrama que ilustre la situación planteada y ayude a entender el problema.

2. RESUELVE, expresar la información en el lenguaje algebraico.

   En este punto, se deben expresar las condiciones y datos del problema en el lenguaje algebraico, con lo que obtenemos una o varias ecuaciones.

3. PLANIFICA, resolver la o las ecuaciones.

   Resolvemos las ecuaciones empleando los métodos ya conocidos para resolverlas.

   
4. COMPRUEBA, verificar la solución.

   Es conveniente verificar que la solución obtenida satisface las condiciones del problema dado.

Lista de chequeo.
Método de resolución de problemas

Capitulo VI. Ecuaciones $\qquad$

Preguntas orientadoras.
Método de resolución de problemas

Problemas que contienen ecuaciones lineales

Es conveniente estar familiarizado con la forma de expresar algebraicamente gran cantidad de expresiones que con frecuencia se presentan en la cotidianidad.

Por ejemplo, símbolos como $=, <,>, +$ en otros, hacen parte de nuestro lenguaje, analicemos los siguientes frases expresadas en forma algebraica, donde "$x$" representa un número indeterminado.

Capitulo VI. Ecuaciones $\qquad$

xploremos.
Expresiones escritas en lenguaje matemático, por ejemplo:

• El doble de un número menos su cuadrado ${\displaystyle \longrightarrow } \quad \color{blue}2x - x^2$
• Dos números que multiplicados es 80 $ {\displaystyle \longrightarrow } \quad \color{blue}x$, $\color{blue}\;\;\frac{80}{x}$

Indicaciones.
Arrastra la expresión al lugar adecuado para formar la ecuación.

Plantea problemas que expresan ecuaciones lineales.

Indicaciones
Solucionar el problema y verificar las respuestas.

Se plantea el problema en lenguaje algebraico y se expresa el significado que le damos a la incógnita, se escribe la ecuación o las ecuaciones que se generan.

Oprime el botón otro problema para ver otros problemas o el botón datos diferentes para cambiar los datos del problema.

Responde a la siguiente pregunta:

Capitulo VI. Ecuaciones $\qquad$

Resuelve problemas que expresan ecuaciones lineales.

Indicaciones
Soluciona completamente el problema, intenta resolverlos antes de ver su solución, no memorizarlos, serán de gran ayuda para resolver los problemas propuestos al final del capítulo.

Oprime el botón solución y analiza la solución del problema, oprime el botón ejercicio para plantear un nuevo problema.

Ecuaciones cuadráticas con una incógnita

La ecuación cuadrática o también conocida como ecuación de segundo grado, donde $a, b$ y $c$ son números $\mathbb{R}$ con $a \equiv\not 0$, se expresa de la forma:

La ecuación cuadrática puede presentar las siguientes soluciones:

• Una, soluciones reales e iguales.
• Dos, soluciones reales diferentes.
• Ninguna solución en los números $\mathbb{R}$ (soluciones imaginarias).

Para resolver o encontrar las posibles soluciones de una ecuación cuadrática, igualamos a cero la ecuación, es decir, $a x^2 + bx + c = 0$ y se aplica una de las tres alternativas siguientes:

1. Factorización (si es posible).
2. Completar el cuadrado (si es posible).
3. Aplicar la fórmula general de la ecuación cuadrática:
   
   $$x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\qquad(1)$$

   Para verificar si la ecuación tiene solución, se puede utilizar la expresión que se encuentra dentro la raíz cuadrada de la ecuación (1) llamada discriminante,
   
   $$d = b^2 - 4ac\qquad(2)$$

Capitulo VI. Ecuaciones $\qquad$

Se puede presentar uno de lo siguientes casos si se analiza el valor del discriminante, expresión (2), teniendo presente lo siguiente:

• Si $d > 0$, tiene dos soluciones reales distintas.
• Si $d = 0$, tiene dos soluciones reales iguales.
• Si $d < 0$, no tiene solución en los números $\mathbb{R}$.

Verifica ingresando los coeficientes $a, b$ y $c$ de la ecuación dada:

Existen varios métodos para resolver las ecuaciones de segundo grado, mencionados anteriormente.

El método apropiado para resolver una ecuación cuadrática depende del tipo de ecuación que se va a resolver.

Veamos algunos casos que se presentan:

1° caso. Ecuación de la forma $\quad \color{blue}a x^2 + c = 0$

Para este caso despejamos la variable, en nuestro caso, $x$, entonces la solución o raíces serán:

Capitulo VI. Ecuaciones $\qquad$

2° caso. Ecuación de la forma $\quad \color{blue}a x^2 + bx = 0$

En este caso tenemos la variable $x$ en los dos términos, por lo tanto, podemos sacar un factor común $x$, es decir,

Por tanto, las soluciones de la ecuación dada, corresponden a dos raíces reales diferentes.

3° caso. Ecuación de la forma $\quad \color{blue}a x^2 + bx + c = 0$

Para este tipo de ecuaciones se pueden presentar varias situaciones, una de ellas es, si el trinomio es factorizable

Para utilizar este método la ecuación cuadrática debe estar igualada a cero y factorizamos el trinomio de la forma $x^2 + bx + c = 0$ o $a x^2 + bx + c = 0$.

Sacando la raíz cuadrada de ambos lados, entonces, las soluciones son dos raíces reales iguales: $$x + 1= 0$$ $$ x_1 = x_2 = -1$$

En este caso, la ecuación $(x + 1)^2= 0$ corresponde a un trinomio cuadrado perfecto, por tanto se dice que la raíz tiene multiplicidad 2, lo que equivale a tener dos soluciones o raíces iguales.

Capitulo VI. Ecuaciones $\qquad$

Vamos a reescribir esta ecuación completando cuadrados, sumando a ambos lados de la igualdad la cantidad $(\frac{4}{2})^2$

Sacando la raíz cuadrada de ambos lados, obtenemos:

por tanto, las soluciones son dos raíces reales diferentes:

$$ x_1 = 2 - \sqrt[]{3},\quad x_2 = 2 + \sqrt[]{3}$$

¡Recuerda! , para completar el cuadrado en una expresión de la forma $x^2 + bx$, se suma la expresión $(\frac{b}{2})^2$ a ambos lados de la igualdad, y la expresión se vuelve: $$x^2 + bx + (\frac{b}{2})^2 = (x + \frac{b}{2})^2$$

Cualquiera que sea la ecuación cuadrática, la fórmula general es de gran utilidad para encontrar las raíces de la ecuación de 2° grado.

donde $\space a = 3,\space b = 4,\space c = -15,\space $ si analizamos el discriminante:

Como $ d > 0$, se tendrán dos soluciones reales diferentes, remplazando entonces, en la ecuación cuadrática, se tiene:

Por tanto, se tienen dos raíces reales diferente.

Responde de acuerdo a lo visto en la sección:

Capitulo VI. Ecuaciones $\qquad$

Ecuaciones de 2° grado.
Aplicar los métodos de solución, ver solución gráfica.

Indicaciones
Encuentra las raíces de la ecuación cuadrática.

1. Soluciona la ecuación propuesta, oprime el botón factorizando o fórmula general para indicar el método de solución, ingresa los datos, pulsa el botón verificar para ver la solución.
2. Por último, oprime el botón ejercicio para una nueva ecuación. ¿Puedes indicar, sin resolver, el número de soluciones que tiene?

La gráfica de la ecuación cuadrática corresponde a una parábola, donde, las soluciones o raíces son las intersecciones con el eje $x$.

Solución gráfica de la ecuación cuadrática

Veamos en la siguiente imagen, las posibles gráficas que se presentan de la ecuación cuadrática según el valor del discriminante $(d)$:

En la figura se ve la solución gráfica que puede presentar una ecuación cuadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$, donde el signo del coeficiente $a$, me indica si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

Se puede observar que hay soluciones reales diferentes, iguales o no tener soluciones.

Las soluciones o raíces corresponden a las intersecciones o cortes en el eje $x$.

Capitulo VI. Ecuaciones $\qquad$

xploremos.
Observa la gráfica de la ecuación cuadrática.

Verifica los conocimientos de lo visto en esta sección, explora la siguiente escena interactiva.

Indicaciones.
Encuentra y comprueba las soluciones de la ecuación cuadrática dada según su gráfica.

Observemos la solución gráfica de la ecuación $\quad\color{blue}ax^2 + bx + c = 0$.

Otras formas de la ecuación cuadrática

Este tipo de ecuación, es llamada ecuación bicuadrada: $$ax^4 + bx^2 + c = 0$$ Se resuelve como una ecuación cuadrática haciendo un cambio de variable, cambiando $x^2$ por $y$, por ejemplo:

Capitulo VI. Ecuaciones $\qquad$

Otra forma de la ecuación cuadrática se puede presentar como: $$a (f(x))^2 + b(f(x)) + c = 0$$ donde $f(x)$ es una función de x, se dice que es una ecuación cuadrática, por ejemplo:

Suma de las soluciones $\quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad S = x_1 + x_2 = 3 - 2 = 1 $
Producto de las soluciones $\quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad P = x_1\cdot x_2 = (3)(- 2) = 6 $

por lo tanto, la ecuación es: $\quad x^2 - x - 6 = 0$

Ecuaciones de 2° grado, aplicar los métodos de solución.

Indicaciones
Soluciona ecuaciones de segundo grado con una incógnita.

1. Selecciona la cantidad de ejercicios a resolver y el grado de dificultad.
2. Pulsa el botón ejercicio para generar la ecuación.
3. Resuelve la ecuación cuadrática, introduce la solución, si la solución no es fracción recuerda colocar un 1 en el denominador y oprime "enter <┘"
4. Pulsa el botón solución para ver si lo has hecho bien.

Capitulo VI. Ecuaciones $\qquad$

Situación problema con ecuación de 2° grado

Con alguna frecuencia se nos presentan algunos problemas que llevados al lenguaje matemático se plantean las situaciones a través de una ecuación cuadrática o de segundo grado.

$\qquad \quad x: \quad$ Representa uno de los números.
$\quad 25 - x :\quad$ Representa el otro número.

Según los datos dados en el problema, se tiene que:

Solucionando la ecuación por factorización, se tiene que:

Si $\quad x = 12\quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad 25 - x = 25 - 12 = 13$
Si $\quad x = 13 \quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad 25 - x = 25 - 13 = 12$

Por tanto, las dos soluciones satisfacen la situación problema.

Cuándo se resuelve la ecuación, es posible que alguna de sus raíces no satisfagan las condiciones del problema y en consecuencia debe rechazarse, es conveniente, examinar las raíces y determinar aquellas que resuelvan satisfactoriamente las situaciones planteadas.

xploremos.
Situaciones que involucran ecuaciones de 2° grado.

Analiza las dos situaciones problema que se plantean a continuación:

Capitulo VI. Ecuaciones $\qquad$

Aplicación de física.

Situación problema. Se va a construir un corral con área de forma rectangular, expresada mediante una función cuadrática.

Indicaciones
Soluciona la siguiente situación problema.

1. Oprime el botón animar , realiza los cálculos para luego verificar las respuestas.
2. Ingresa los resultados de las preguntas dadas,
   1. ¿Cuál es la medida de los lados?
   2. ¿Cuál es el área máxima?
      
3. Oprime "enter <┘" y verifica los resultados.

Escena de Carlos Mario Restrepo Restrepo. CC by-nc-sa

Aplicación de física.

Situación problema, piensa y analiza.
¿Cómo se debe lanzar una pelota, para que alcance la máxima distancia horizontal?, ¿Cómo se llama esta trayectoria?. ¿Desde las matemáticas, cómo se puede interpretar este movimiento?

1. Observa la curva que se describe, cuando se lanzada verticalmente con una determinada velocidad una pelota. Modifica el control de la velocidad y oprime el botón Animar.
2. Modifica el control de la velocidad y oprime Animar para ver la trayectoria de la pelota. Ingresa los valores de Y _max y t _vértice, oprime "enter <┘" para verificar los resultados.

Oprime la botón para avanzar o retroceder en las situaciones.

Capitulo VI. Ecuaciones $\qquad$

Ecuaciones con grado mayor o igual a tres

Para $n>2$, se tiene la siguiente ecuación:

Este tipo de ecuación se puede descomponer en factores de primer y segundo grado, entonces basta igualar a cero cada uno de los factores y resolver las ecuaciones de primer grado y de segundo grado resultantes.

xploremos.
Analiza y explora las siguientes escenas interactivas, observa las gráficas de las ecuaciones que se plantean según la situación.

También, se puede utilizar la regla de Ruffini, para reducir polinomios de tercer grado o mayor. A continuación veremos algunos teoremas, que nos servirán para factorizar polinomios y la relación con las raíces del polinomio.

Capitulo VI. Ecuaciones $\qquad$

Teorema del Residuo y del Factor.

Teorema del Residuo

Este teorema permite conocer el residuo sin efectuar la división de un polinomio $P(x)$ entre un binomio de la forma $(x-a)$:

"Si el polinomio $P(x)$ se divide entre $(x-a)$, el residuo es igual a $P(a)$."

Esto es, si $P(a)= 0$ entonces $(x - a)$ es un factor de $P(x)$.

Usando el teorema del residuo y el teorema del factor, factorice completamente el polinomio.

Para empezar, debemos buscar los posibles factores de la forma $(x-a)$ del polinomio dado. Esto equivale a buscar los números $a$ tales que $P(a)=0$.

Los posibles valores para hacer que el polinomio se anule son precisamente los divisores del término independiente, que en este caso es 6.

Divisores de 6 = $ \pm1; \pm2; \pm 3; \pm 6 $.

Evaluamos con cada divisor el polinomio $P(x)$:

• $P(-1) = (-1)^4 + (-1)^3 -7(-1)^2 -(-1) + 6 = 0$:
  SI es un factor del polinomio $\quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad \color{blue}(x+1)\quad$
• $P(1) = (1)^4 + (1)^3 -7(1)^2 -(1) + 6 = 0$
  SI es un factor del polinomio$\quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad \color{blue}(x-1)\quad$
• $P(-2) = (-2)^4 + (-2)^3 -7(-2)^2 -(-2) + 6 = 12 \equiv\not 0$
  $(x + 2)$ No es un factor del polinomio.
• $P(2) = (2)^4 + (2)^3 -7(2)^2 -(2) + 6 = 0$
  SI es un factor del polinomio$\quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad \color{blue}(x - 2)\quad$
• $P(3) = (3)^4 + (3)^3 -7(3)^2 -(3) + 6 = 48 \equiv\not 0$
  $(x - 3)$ No es un factor del polinomio.
• $P(-3) = (-3)^4 + (-3)^3 -7(-3)^2 -(-3) + 6 = 0$
  SI es un factor del polinomio$\quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad \color{blue}(x + 3)\quad$
• $P(6) = (6)^4 + (6)^3 -7(6)^2 -(6) + 6 = 1260 \equiv\not 0$
  $(x - 6)$ No es un factor del polinomio.
• $P(-6) = (-6)^4 + (-6)^3 -7(-6)^2 -(-6) + 6 = 840 \equiv\not 0$
  $(x + 6)$ No es un factor del polinomio.

Entonces, los divisores $a$ tales que $P(a)=0$, son los factores del polinomio, por tanto:

Capitulo VI. Ecuaciones $\qquad$

División Sintética o Método de Ruffini

Apliquemos los siguiente pasos al polinomio organizado de manera ordenada (las variables de mayor a menor grado).

1. Colocamos los coeficientes en un fila. En este caso el polinomio es completo, si no fuera así completaría con ceros los espacios de las variables faltantes, 0. $$ 1,\quad -6, \quad -11, \quad 24, \quad 28$$
2. Vemos cuales son los divisores del último término, termino independiente (28):

   Los divisores de 28 son: $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 7, \pm 14, \pm 28$

   ¿Cuales de estos divisores son válidos aplicando el método?

3. Trazamos una línea vertical por delante del primer coeficiente y en la línea siguiente, a la izquierda de esta línea vertical, un divisor del último término del polinomio. Por debajo de este divisor trazamos una recta horizontal de la anchura ocupada (más o menos) por los coeficientes del polinomio.

   

4. Ahora veamos como operar, debajo de la raya horizontal y debajo del primer coeficiente se escribe el mismo coeficiente.

   Ahora multiplicamos el primer divisor (el 1ª la izquierda de la raya vertical) por el primer coeficiente del polinomio (el 1 que lo tienes debajo de la raya horizontal) y el resultado del producto lo colocas debajo del segundo coeficiente (el -6).

   Se Suma -6 + 1 = -5, este resultado lo colocamos debajo de la línea horizontal y a la altura del segundo coeficiente, realizamos los mismos pasos hasta llegar al termino independiente.

   

   El divisor (1), no es solución porque la última suma es 36 y para que sea raíz o solución debe ser igual CERO.

Capitulo VI. Ecuaciones $\qquad$

Se realiza el mismo proceso con cada divisor, hasta encontrar como resultado en su ultima operación el CERO.

5. Realicemos el mismo procedimiento con el divisor 2:

   

   Esta vez comprobamos que obtengo al final un cero, lo que significa que el divisor es una raíz, osea. $(x - 2)$

6. Todos los nuevos coeficientes que he obtenido debajo de la raya horizontal son positivos, tomo otro divisor de 28 que sea negativo, por ejemplo, (-2) y haciendo las mismas operaciones que en los pasos anteriores, se obtiene:

   

   Lo que significa que el divisor (-2) es una raíz, osea. $(x + 2)$

   Por lo tanto, tenemos: $(x - 2)(x + 2)(x^2 -6x - 7)$

Además, con los últimos coeficientes obtenemos un trinomio, el cual podemos factorizan directamente:

Por lo tanto, la factorización del polinomio es:

Se puede comprobar que al sustituir a $x$ por $-2, -1, 2$ y $7$ obtenemos como resultado el cero en la ecuación.

Observemos la solución gráfica en la siguiente figura:

Capitulo VI. Ecuaciones $\qquad$

Encuentra las raíces del polinomio propuesto.

Indicaciones
Aplicamos la Regla de Ruffini o uno de los métodos de solución.

1. Soluciona la ecuación dada según su grado, pulsa el botón solución para ver y comparar con tus resultados.
2. Pulsa el botón ejercicio para generar una ecuación. Debes indicar, sin resolverla, el número de soluciones que tiene.

Ecuaciones con logaritmos y exponenciales.

La expresión exponencial es la inversa de la función logarítmica , y se representa en función de $x$ de la forma:

¿Cómo se resuelve una ecuación logarítmica o exponencial?

Para hallar el valor de $x$ en una ecuación logarítmica o exponencial, es conveniente seguir los siguientes pasos:

1. Si tiene expresiones exponenciales, se despeja la expresión a un lado de la ecuación y aplicamos el logaritmo a ambos lados de la ecuación con la base más conveniente (por lo general se elige la misma base que tiene la expresión logarítmica o exponencial), sino, aplicamos las leyes de los logaritmos para simplificar y reorganizamos la ecuación despejando la incógnita.
2. Por último, se hace cambio de base y con una calculadora se da el valor exacto de la incógnita.

Cuándo se resuelven ecuaciones de tipo algebraicas, normalmente se basan en la idea de que se puede cambiar en ambos lados de la ecuación de la misma manera y obtener una ecuación válida.

Esto también aplica para los logaritmos y exponenciales, no importa cual sea la base $b$, si:

$x = y \quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad \log_b(x) = \log_b(y)$.

$x = y \quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad b^x = b^y$.

Capitulo VI. Ecuaciones $\qquad$

Tomamos logaritmos en base $2$ a ambos lados de la ecuación:

Si deseamos encontrar el valor exacto de la incógnita, se hace un cambio de base y se evalúa en calculadora.

Para verificar el resultado, se sustituye el valor hallado en la ecuación inicial.

Despejamos los logaritmos a un solo lado de la ecuación aplicando las leyes para simplificar:

Para eliminar el logaritmo, aplicamos la base en forma exponencial a ambos lados de la ecuación, simplificando asi el logaritmo.

Capitulo VI. Ecuaciones $\qquad$

xploremos.
Observa la gráfica de una función logarítmica y exponencial:

Piensa y analiza

Analicemos, las gráficas de las expresiones logarítmicas $y=\log_b(x)$ y exponencial $y = b^x$ (estas expresiones llamadas funciones).

1. Se observa que ¿La exponencial es la inversa de la función logarítmica?
2. ¿Que sucede en ambas ecuaciones si $b=1$?
3. ¿Que pasa si $x=0$?
4. ¿Puede ser $y<0$?

Practiquemos

jercicio 1.
Pongamos en práctica lo visto en esta sección

Indicaciones
Soluciona ecuaciones de primer grado con una incógnita.

1. Digita la cantidad de ejercicio a resolver.
2. Pulsa el botón ejercicio para generar la ecuación.
3. Resuelve la ecuación lineal.
4. Introduce la solución, si la solución no es fracción recuerda colocar un 1 en el denominador.
5. Pulsa el botón solución para ver si lo has hecho bien.

Capitulo VI. Ecuaciones $\qquad$

jercicio 2. Situaciones problema de 1° grado

Analiza, plantea y resuelve las siguientes situaciones problema.

1. Dividir en dos partes tales que el doble de la menor, sea 6 unidades más que la mayor.
2. Hallar dos números enteros consecutivos cuya suma sea .
3. Dividir en dos partes tales que una exceda a la otra en 100.
4. La suma de un número y 5 veces el mismo es . Hallar el número.
5. Hallar 3 números enteros consecutivos impares, tales que la suma del primero y el segundo sea igual al tercero más .
6. La suma de 3 números es 200. El mayor excede al del medio en 32 y al menor en 65. Hallar los números.
7. La suma de 2 números es 120 y su diferencia 40.
8. Dentro de 12 años la edad de un hombre es el doble de la edad hace 4 años. Hallar su edad actual.
9. Oprime el botón problema , y genera una situación problema aleatoria.

Actividad complementaria.
Situaciones problemas para imprimir

jercicio 2. Situaciones problema de 2° grado.

Pongamos en práctica lo visto en esta sección, analiza, plantea y resuelve las siguientes situaciones problema.

1. Hallar dos números pares consecutivos sabiendo que su producto es .
2. La suma de las edades de un padre y su hijo es años y la cuarta parte de su producto excede a la edad del padre en 240 años. ¿Cuáles son las edades respectivas?.
3. Un desagüe vacía un tanque en 4 horas menos que un segundo desagüe. Si ambos desagües abiertos simultáneamente vacían el tanque en $2 \frac{2}{3}$ horas, determinar el tiempo en que cada desagüe por separado vacía el tanque.
4. Dividir el número 10 en dos partes tales que su producto añadido a la suma de sus cuadrados sea igual a 76.
5. El perímetro de un rectángulo es 28 $m$ y su área 48 $m^2$. ¿Cuáles son sus dimensiones?
6. El lado de un cuadrado es 3 metros menor que el largo de un rectángulo y 4 metros mayor que su ancho. Encontrar las dimensiones si el área del cuadrado es el doble del área del rectángulo.
7. Un cuadrado tiene 33 m² más que otro y este un metro menos de lado que el primero. Hallar los lados de los cuadrados.

Actividad complementaria.
Situaciones problemas para imprimir

Capitulo VI. Ecuaciones $\qquad$

jercicio 3.
Resuelve las siguientes ecuaciones con logaritmos.

Indicaciones

1. Primero resuelve la ecuación logarítmica o exponencial propuesta teniendo en cuenta lo aprendido en esta sección y verifica tus respuestas.
2. Pulsa el botón solución para ver y comparar las respuestas.

Evaluamos lo aprendido.
Prepárate para la evaluación y mide tus conocimientos de lo aprendido en este capítulo, responde las preguntas a continuación:

Evaluación - 5x2 preguntas con límite de tiempo - (20 minutos)
Clic en el link, responde y envía los resultados por e-mail.

Capítulo VI: Ecuaciones.
Evalúa lo aprendido en el capítulo y envía a tu profesor(a).

$\quad$ Envía tu evaluación
$\space$ Evaluación: Capítulo VI

Tomada de la Red Educativa Digital Descartes.
Plantillas con Descartes-JS

"Ningún empleo puede ser controlado sin aritmética,
ninguna invención mecánica sin geometría".

Benjamin Franklin

Sistemas de Ecuaciones

DERECHOS BÁSICOS DE APRENDIZAJE (DBA)

DBA.1. Reconoce la existencia de los números irracionales como números no racionales y los describe de acuerdo con sus características y propiedades.

DBA.2. Construye representaciones, argumentos y ejemplos de propiedades de los números racionales y no racionales.

DBA.8. Identifica y analiza relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de expresiones algebraicas y relaciona la variación y covariación con los comportamientos gráficos, numéricos y características de las expresiones algebraicas en situaciones de modelación.

DBA.9. Propone, compara y usa procedimientos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba conjeturas en diversas situaciones o contextos.

Derechos Básicos de Aprendizaje - Grado 9°.

DESEMPEÑOS / ESTÁNDAR
Pensamiento numérico
1.2 M.IV Resuelvo problemas y simplifico cálculos usando propiedades y relaciones de los números reales y de las relaciones y operaciones entre ellos. DBA 1, 2.
Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos
5.1 M.IV Identifico relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de las ecuaciones algebraicas. DBA8, 9
5.5 M.IV Identifico diferentes métodos para solucionar sistemas de ecuaciones lineales. DBA2, 8.

El desarrollo de estos Estándares Básicos de Competencia permitirá fortalecer los procesos de formulación, modelación y resolución de problemas.

Capitulo VII. Sistemas de Ecuaciones $\qquad$

Sistema de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones esta formado por dos o más ecuaciones con varias incógnitas en la que deseamos encontrar una solución común, se tomará la ecuación donde $a, b, c$ son los coeficientes y las incógnitas $x$, $y$ expresada de la forma:

Los sistemas de solución de ecuaciones, también conocidos como:

• Sistema 2 x 2 (2 ecuaciones 2 incógnitas).
• Sistema 3 x 3 (3 ecuaciones 3 incógnitas).

Para resolver un sistema (compatible determinado) necesitamos tener al menos tantas ecuaciones como incógnitas.

Resolver un sistema de ecuaciones, es encontrar el valor de cada incógnita para que se satisfagan todas las ecuaciones del sistema, estas aparecen en varias de las ecuaciones, pero no necesariamente en todas, lo que hacen estas ecuaciones es relacionar las incógnitas entre sí.

Métodos de solución.

Como resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas por diferentes métodos de solución .

Método Gráfico.

Cuándo se soluciona un sistema de ecuaciones utilizando el método gráfico, para este caso, un sistema 2 x 2 se tiene que:

• Cada ecuación representa una recta en el plano.
• Las variables $x$ y $y$ son las incógnitas, que nos darán como solución un punto de intersección o corte $(x, y)$ entre las ecuaciones gráficadas.
• Los valores $a, b, d, e$ son los coeficientes correspondientes a cada variable en la ecuación y $c, f$ los términos independientes.

Capitulo VII. Sistemas de Ecuaciones $\qquad$

El método gráfico puede presentar las siguientes soluciones: Unica solución, no tener solución o infinitas soluciones.

• Secantes:
  Solución única.
  
  Si las rectas se intersecan, tendrán un sólo punto en común por lo tanto habrá una única solución en el punto $(x, y)$.
  
  
  
• Paralelas:
  No tiene solución.
  
  Si las rectas no se interceptan porque son paralelas, entonces el sistema no tiene solución.
  
  
  
• Coincidentes:
  Infinitas soluciones.
  
  Si las rectas coinciden, entonces habrán infinitas soluciones.

xploremos.

Veamos la solución gráfica de un sistema lineal de ecuaciones 2 x 2, para ver diferentes ejemplos, oprime el botón otro ejemplo .

Como es de esperar, en el método gráfico se representan las gráficas asociadas a las ecuaciones del sistema para deducir su solución ahora veamos, como resolver sistemas de ecuaciones lineales de forma analítica.

Capitulo VII. Sistemas de Ecuaciones $\qquad$

Método de Reducción.

El método consiste en multiplicar una ó las dos ecuaciones por un número de modo que obtengamos un sistema en que los coeficientes de $x$ o de $y$ sean iguales con signo contrario, para eliminar dicha incógnita al sumar las dos ecuaciones.

Método de Sustitución.

El método consiste en despejar una de las incógnitas de una de las ecuaciones y reemplazar este valor en la otra ecuación, de esta forma se llega a una ecuación de primer grado con una incógnita.

¡Recuerda! , si quieres comprobar la solución, sustituye los resultados de $x, y$ y comprueba que satisface cada ecuación.

Capitulo VII. Sistemas de Ecuaciones $\qquad$

Método de Igualación.

El método consiste en una pequeña variación del método de sustitución, para resolver el sistema de ecuaciones hay que despejar una incógnita, la misma, en las dos ecuaciones e igualar el resultado de ambos despejes, con lo que se obtiene una ecuación de primer grado con una incógnita.

xploremos.
Solución de un sistema de ecuaciones lineales analítica y gráficamente paso a paso.

Indicaciones.
Resuelve primero y luego verifica la respuesta, oprime las flechas para obtener los coeficientes $a, b, c, d, e, f$ de cada variable del sistema de ecuaciones.

Capitulo VII. Sistemas de Ecuaciones $\qquad$

Oprime el botón ejercicio para generar un sistema de ecuaciones lineales, utiliza uno de los métodos para solucionar el sistema.

Verifica la solución por medio del método gráfico, ingresa los coeficientes $a, b, e, d$ y las constantes $c$ y $f$ respectivamente.

Oprime el botón solución para verificar la solución gráfica.

Método de Determinantes.

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales existe también un método, llamado método de determinantes.

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones 2 x 2:

El número real $\color{blue} \triangle = a_1 . b_2 - a_2 . b_1$, se llama determinante ($\triangle$) de orden 2 y se esquematiza de la forma:

Donde la primera columna corresponde a los coeficientes de la incógnita $x$ y la segunda columna a los coeficientes de la incógnita $y$.

Para hallar $x$ y $y$, se pueden expresar como cocientes de determinantes de la siguiente forma:

Capitulo VII. Sistemas de Ecuaciones $\qquad$

Según las expresiones anteriores, se tiene lo siguiente:

1. El denominador es el determinante formado por los cocientes de $x$ y $y$ en el sistema. Los representamos por $\triangle$.
2. El numerador de $x$ se obtiene reemplazando en $\triangle$ los coeficientes de $x$ por los términos independientes $c_1$ y $c_2$.
3. El numerador de $y$ se obtiene reemplazando en $\triangle$ los coeficientes de $y$ por los términos independientes $c_1$ y $c_2$.

Para resolver un sistema de ecuaciones 3 x 3, se puede utilizar cualquiera de los métodos ya vistos en esta sección.

Para resolver un sistema de 3 x 3, necesitamos tener al menos tantas ecuaciones como incógnitas, el sistema está formado por (3) ecuaciones, (3) incógnitas, así:

La solución del sistema se determina por:

Capitulo VII. Sistemas de Ecuaciones $\qquad$

Se observa que cada incógnita es una fracción cuyo denominador es el determinante $\triangle$ y el numerador es el determinante que se obtiene cambiando la columna de los coeficientes de la incógnita por los términos independientes, veamos diferentes ejemplos de un sistema 3x3 utilizando Regla de Cramer:

Solución de un sistema por la Regla de Cramer.

1. Oprime el botón sistema y generar un sistema de ecuaciones lineales 2x2, soluciona y verifica tus respuestas.

Ingresa los coeficientes, oprime el botón solución y observa.

Capitulo VII. Sistemas de Ecuaciones $\qquad$

2. Oprime el botón sistema y generar un sistema ecuaciones de 3x3.

Situaciones problema

Es conveniente estar familiarizado con la forma de expresar algebraicamente gran cantidad de expresiones que con frecuencia se presentan en la cotidianidad.

Con alguna frecuencia se nos presentan algunos problemas que llevados al lenguaje matemático se plantean las situaciones a través de un sistema de ecuaciones.

Dos números suman 25 y el doble de uno de ellos es 14. ¿Cuales son los números?

$\qquad x: \quad$ Es un número

$\qquad y: \quad$ El otro número

• La suma de dos números es 25: $\quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad x + y = 25$
• El doble de uno de los números es 14: $\quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad 2x = 14$

Entonces el sistemas de ecuaciones es:

Verifica que la solución es: $\quad x = 7$, $\quad y = 18$

Capitulo VII. Sistemas de Ecuaciones $\qquad$

Problemas que generan ecuaciones lineales.

Situaciones problema, que generan sistemas de ecuaciones lineales de 2x2, intenta resolverlos antes de ver su solución.

Para ver el planteamiento y su respuesta, oprime el botón solución , para un nuevo problema, oprime el botón ejercicio .

Practiquemos

jercicio 1. Situaciones problema.

1. Hallar dos números cuya suma sea 182 y su diferencia sea .
2. La diferencia entre dos números es 6 y la suma del doble del menor con el mayor es , determinar los números.
3. Hallar dos números, suman 150 y el doble de uno de ellos es .
4. La diferencia de dos nůmeros es y ${1\over 9}$ de su suma es 10. Hallar los números.
5. La edad de A excede en 8 años a la de B y el duplo de la edad de B excede en 10 a la edad de A. Hallar ambas edades.
6. La edad de A excede en 22 años a la edad de B, y si la edad de A menos 12 años es igual al triplo de la edad de B. Hallar las edades.
7. La suma de las cifras de un número de dos cifras es 15 y si al número se resta 9, las cifras se invierten. Hallar el número.
8. La suma de las cifras de un número mayor que 10 y menor que 100 es 12. Si las cifras de las decenas se disminuye en 2 y la cifra de las unidades se aumenta en 2, las cifras se invierten. Hallar el número.
9. Hallar tres números tales que el primero más el segundo sumen 50, el primero más el tercero suman 30; y el segundo más el tercero suman 40.
10. La medida del ángulo interior mayor de un triángulo es el doble de la medida del ángulo menor y la medida del mediano excede a la del menor en 20°. Hallar los ángulos.

Actividad complementaria.
Situaciones problemas para imprimir

Capitulo VII. Sistemas de Ecuaciones $\qquad$

jercicio 2. Sistemas de ecuaciones lineales
Pongamos en práctica lo visto en esta sección.

Oprime el botón para generar un ejercicio aleatorio, utiliza uno de los métodos de solución de sistemas de ecuaciones.

Evaluamos lo aprendido.
Prepárate para la evaluación y mide tus conocimientos de lo aprendido en este capítulo, responde las preguntas a continuación:

Evaluación - 10 preguntas con límite de tiempo - (10 minutos)
Clic en el link, responde y envía los resultados por e-mail.

Capítulo VII: Sistemas de Ecuaciones.
Evalúa lo aprendido en el capítulo y envía a tu profesor(a).

$\quad$ Envía tu evaluación
$\space$ Evaluación: Capítulo VII

. Tomada de la Red Educativa Digital Descartes.
Plantillas con Descartes-JS

"La única forma de aprender matemáticas es hacer matemáticas".

Paul Halmos

Inecuaciones

DERECHOS BÁSICOS DE APRENDIZAJE (DBA)

DBA.1. Reconoce la existencia de los números irracionales como números no racionales y los describe de acuerdo con sus características y propiedades.

DBA.2. Construye representaciones, argumentos y ejemplos de propiedades de los números racionales y no racionales.

DBA.8. Identifica y analiza relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de expresiones algebraicas y relaciona la variación y covariación con los comportamientos gráficos, numéricos y características de las expresiones algebraicas en situaciones de modelación.

DBA.9. Propone, compara y usa procedimientos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba conjeturas en diversas situaciones o contextos.

Derechos Básicos de Aprendizaje - Grado 9°.

DESEMPEÑOS / ESTÁNDAR

Pensamiento numérico
1.2 M.IV Resuelvo problemas y simplifico cálculos usando propiedades y relaciones de los números reales y de las relaciones y operaciones entre ellos. DBA 1, 2.
Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos
5.1 M.IV Identifico relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de las ecuaciones algebraicas. DBA8, 9
5.5 M.IV Identifico diferentes métodos para solucionar sistemas de ecuaciones lineales. DBA2, 8.

El desarrollo de estos Estándares Básicos de Competencia permitirá fortalecer los procesos de formulación, modelación y resolución de problemas.

Capitulo VIII. Inecuaciones $\qquad$

¿Que es una inecuación?

Una inecuación es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas, donde su solución posee infinitas soluciones, como es el caso: $$ 4 < x + 2 < 7$$ $$ 2 < x < 5$$

Todos los valores de $x$ entre $2$ y $5$ verifican la desigualdad, por tanto el conjunto solución de la desigualdad puede verse intuitivamente como el tramo de la recta real entre $2$ y $5$ .

Desigualdades

¿Qué es una desigualdad?

Una desigualdad es un enunciado matemático que compara dos expresiones (numéricas o algebraicas) usando algún signo de desigualdad $>,<,≥ o ≤$.

En una desigualdad, una expresión de la desigualdad puede ser más grande o más chica que la otra expresión, se utilizan símbolos especiales en estos enunciados.

Dados los números reales $a, b$ que cumplen $a < b$ o $a> b$, donde el símbolo "$<$ o $>$" indican que no incluye el limite dado y el símbolo "$\le$ o $≥$" indican que incluye los limites, se definen así:

xploremos.

Intervalos Acotados.
Es el conjunto de los números comprendidos entre los límites $a$ y $b$:

Intervalo	Desigualdad $x \in \mathbb{R}$	Gráfico
Abierto $\quad (a, b)$	$a < x < b$
Cerrado $\quad [a, b]$	$a \le x \le b$
Abierto izquierda $(a, b]$	$a < x \le b$
Abierto derecha $[a, b)$	$a \le x < b$

Capitulo VIII. Inecuaciones $\qquad$

xploremos.

Intervalos no Acotados.
Este tipo de intervalos aparece cuando se conoce solo uno de los extremos y el otro es el infinito, al no poderse incluir el infinito en el intervalo, estos se consideran siempre abiertos en el infinito:

Intervalo	Desigualdad $x \in \mathbb{R}$	Gráfico
Abierto izquierda $(a, +\infty)$	$ a < x$
Cerrado izquierda $[a, +\infty)$	$ a \le x$
Abierto derecha $(-\infty, b)$	$ x < b$
Cerrado derecha $(-\infty, b]$	$ x \le b$
Todos los $\mathbb{R} (-\infty, +\infty)$	$x \in \mathbb{R}$

Organizar la desigualdad o el intervalo dado.

1. Oprime el botón ejercicio para generar un intervalo o desigualdad, arrastra el circulo al recuadro de manera organizada.
2. Oprime el botón solución para ver si lo has hecho bien, repite los pasos hasta finalizar el el ejercicio completo.

Capitulo VIII. Inecuaciones $\qquad$

Propiedades de las desigualdades.

Sean $a, b, c$ números $\mathbb{R}$, se cumple que:

• $a^2 ≥ 0$
• Si $a > 0$ y $b > 0 \quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad a ≤ b ⇔ {1 \over a} ≥ {1 \over b}$.
• Si $a > 0 \quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad {1 \over a} > 0$.
• Si $a < 0 \quad {\displaystyle \longrightarrow }\quad {1 \over a} < 0$.
• Si $a ≤ b$ y $c ≤ d \quad {\displaystyle \longrightarrow }\quad a + c ≤ b + d$.
• Si a los dos miembros de una desigualdad se suma o resta un mismo número obtenemos otra con el mismo sentido.
  
  

  $\quad a ≤ b ⇔ a ± c ≤ b ± c$

• Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por un número positivo obtenemos otra equivalente.
  
  

  $\quad c > 0 \quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad a ≤ b ⇔ ca ≤ cb$.
  $\quad c > 0 \quad {\displaystyle \longrightarrow } \displaystyle \quad a ≤ b ⇔ {a \over c} ≤ {b \over c}$.

• Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por un número negativo la desigualdad cambia de sentido.
  
  

  $\quad c < 0 \quad {\displaystyle \longrightarrow }\quad a ≤ b ⇔ ca ≥ cb$.
  $\quad c < 0 \quad {\displaystyle \longrightarrow }\quad \displaystyle a ≤ b ⇔ {a \over c} ≥ {b \over c}$.

  El sentido de una desigualdad se conserva al multiplicar o dividir sus dos miembros por un mismo número positivo, se invierte si dicho número es negativo.

Inecuaciones lineales con una incógnita

Resolver una desigualdad o inecuación es encontrar todos los valores que tiene $x$ para que la desigualdad se cumpla.

Si $a,b \in \mathbb{R}$ con $a =\not 0$, cualquiera de las siguientes expresiones se llama inecuación lineal de una variable, inecuaciones del tipo:

xploremos.
Pasos para resolver una inecuación lineal.

Primero se aísla la incógnita en un lado de la desigualdad, dejando en el otro solo números, para ello debe tenerse en cuenta las propiedades de las desigualdades, luego se procede de igual forma que al resolver una ecuación lineal con una incógnita.

Oprime el botón Siguiente paso y observa los ejemplos:

Capitulo VIII. Inecuaciones $\qquad$

xploremos.
Ejemplos de inecuaciones lineales.

Indicaciones

1. Oprime alguno de los botones de ejemplo , observa los ejemplos paso a paso de la solución de una inecuación lineal.
2. Para practica la solución de una inecuación, oprime el botón ejercicio , realiza el apareamiento, resuelve la inecuación y luego selecciona la respuesta correcta.

Veamos los siguientes ejemplos de la solución de una inecuación, encontrando los valores de $x$ que cumplen la desigualdad y la representación de su solución gráfica:

Resolver la inecuación no acotada $\quad 3x - 10 > 5$ $$ 3x > 5 - 10 \quad \quad $$ $$ x > {-5 \over 3} \quad \quad \quad$$

Resolver la inecuación acotada $\quad \displaystyle 2 < 3x - 7 \le {2x-7 \over 4}$ $$ 2 < 3x-7 \land\quad 3x-7\le {2x-7 \over 4}$$ $$ 9 < 3x \quad\land\quad 12x-28\le 2x-7$$ $$ 3 < x \quad\land\quad x\le {21 \over 10}$$

Capitulo VIII. Inecuaciones $\qquad$

xploremos.
Ejemplos de soluciones de inecuaciones lineales.

Observa la representación de un intervalo acotado, la desigualdad y su representación gráfica, oprime el botón otro ejemplo para ver diferentes ejemplos.

Los puntos de color rojo, representan los extremos del intervalo:

$\color{red} \circ \quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad$ No se incluye el extremo, intervalo abierto $(\space)$.

$\color{red} \bullet \quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad$ Si se incluye el extremo, intervalo cerrado $[\space]$.

Resuelve las siguientes inecuaciones lineales acotadas,

Resuelve el ejercicio planteado, verifica con el botón solución , para generar un nuevo ejercicio, oprime el botón ejercicio , veamos primero el siguiente ejemplo:

Capitulo VIII. Inecuaciones $\qquad$

Resuelve las siguientes inecuaciones lineales no acotadas.

Se plantean 4 inecuaciones lineales a continuación:

1. Primero, resuelva los ejercicios propuestos.
2. Luego, para verificar las respuestas, oprima el botón solución , observa la respuesta de cada inecuación, la desigualdad obtenida y la representación del intervalo.

Inecuaciones cuadráticas con una incógnita

Primero que debemos hacer, recordemos las propiedades de las ecuaciones de 2° grado, teniendo en cuenta sus diferentes soluciones analizando el discriminante $d = b^2 -4ac$ que indica que tipo de solución tiene la ecuación ():

Con la información anterior obtenida, el proceso de solución de la inecuación consiste en:

• Encontrar las soluciones de la ecuación cuadrática, se resuelve igualando a cero la ecuación.
• Ubicarlas las soluciones en la recta numérica e identificar los intervalos que se generan. Con los valores obtenidos, en la recta colocamos círculos vacíos para identificar que en la inecuación no se permite la igualdad con cero ($< o>$) o circulos rellenos que identifican que se permite el cero en la inecuación ($≤ o ≥$). Estos puntos son los extremos de los intervalos que se generan.
• Identificar el signo del polinomio en cada una de los intervalos generados. Sustituimos un valor de cada intervalo en la inecuación para obtener el signo que determina cada intervalo.
• Buscar la solución de la inecuación según los signos obtenidos y según la desigualdad dada.

Capitulo VIII. Inecuaciones $\qquad$

Ubicamos los valores encontrados y identificamos los intervalos generados, sustituimos un valor de cada intervalo en el factor para obtener el signo que se determina.

Observemos el signo del factor $x - 7$:

Si $x < 7,$ sustituimos $x$ por $1 \quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad 1-7=-6 \quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad (-)$.

Si $x > 7,$ sustituimos $x$ por $9 \quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad9-7 = 2 \quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad (+)$.

Observemos el signo del factor $x + 6$:

Si $x < -6,$ sustituimos $x$ por $-8 \space {\displaystyle \longrightarrow } \space -8+6=-2 \space {\displaystyle \longrightarrow } \quad (-)$.

Si $x > -6,$ sustituimos $x$ por $2 \quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad 2+6 = 8\quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad (+)$.

¿Que sucede en el caso que la ecuación no tenga solución real?

Por tanto la solución de la inecuación $x^2 - x -42 < 0$, son los valores donde los intervalos son negativos:

por tanto, la solución es: $\quad -6 < x < 7=(-6, 7)$

Si la inecuación fuera $x^2 - x -42 \le 0$, significa que ahora se admiten valores que al evalúar el polinomio el resultado sea cero: $$(-6)^2 - (-6) -42 \le 0$$ $$(7)^2 - (7) -42 \le 0$$ Por tal motivo, se incluye $-6$ y $7$ en la solución: $\quad [-6, 7]$.

Podemos expresar la solución de la inecuación mediante una representación gráfica o un intervalo.

Capitulo VIII. Inecuaciones $\qquad$

xploremos.
Ejemplos de la solución de una inecuación cuadrática.

Comprueba la solución, toma un valor de cada intervalo, remplaza en el polinomio inicial y verifica el signo del resultado obtenido.

Seleccione el signo de la desigualdad para cambiar la inecuación, oprime el botón ejemplo para ver diferentes ejemplos.

Responde a la siguiente pregunta:

Inecuaciones racionales con una incógnita

Cuándo tenemos inecuaciones con expresiones racionales se realizan los siguientes pasos:

1. Hallamos las raíces del numerador y del denominador.
2. Representamos estos valores en la recta real, teniendo en cuenta que las raíces del denominador, independientemente del signo de la desigualdad, tienen que ser abiertas, ¿sabes porque?
3. Tomamos un punto de cada intervalo, evalúamos en la inecuación inicial y observamos el signo en cada intervalo.
4. La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que la fracción polinómica.

xploremos.
Observa ejemplos de inecuaciones con expresiones racionales:

Capitulo VIII. Inecuaciones $\qquad$

Practiquemos

jercicio.
Resuelve las siguientes inecuaciones cuadráticas y racionales.

Indicaciones
Analiza la inecuación propuesta.

1. Resuelve el ejercicio propuesto y verifica tus respuestas, oprime el botón ver solución .
2. Para una nueva inecuación, oprime el botón ejercicio y repite los pasos anteriores.

Evaluamos lo aprendido.
Prepárate para la evaluación y mide tus conocimientos de lo aprendido en este capítulo, responde las preguntas a continuación:

Evaluación - 10 preguntas con límite de tiempo - (10 minutos)
Clic en el link, responde y envía los resultados por e-mail.

Capítulo VIII: Inecuaciones.
Evalúa lo aprendido en el capítulo y envía a tu profesor(a).

$\quad$ Envía tu evaluación
$\space$ Evaluación: Capítulo VIII

Tomada de la Red Educativa Digital Descartes.
Plantillas con Descartes-JS

"Las matemáticas son la ciencia de lo que está claro por sí mismo".

Carl Gustav Jacob Jacobi

Números Complejos

DERECHOS BÁSICOS DE APRENDIZAJE (DBA)

DBA.2. Construye representaciones, argumentos y ejemplos de propiedades de los números racionales y no racionales.

DBA.5. Utiliza teoremas, propiedades y relaciones geométricas (teorema de Tales y el teorema de Pitágoras) para proponer y justificar estrategias de medición y cálculo de longitudes.

DBA.8. Identifica y analiza relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de expresiones algebraicas y relaciona la variación y covariación con los comportamientos gráficos, numéricos y características de las expresiones algebraicas en situaciones de modelación.

DBA.9. Propone, compara y usa procedimientos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba conjeturas en diversas situaciones o contextos.

Derechos Básicos de Aprendizaje - Grado 9°.

DESEMPEÑOS / ESTÁNDAR

Pensamiento numérico
1.2 M.IV Resuelvo problemas y simplifico cálculos usando propiedades y relaciones de los números reales y de las relaciones y operaciones entre ellos. DBA 2.
Pensamiento espacial
2.4 M.IV Uso representaciones geométricas para resolver y formular problemas en las matemáticas y en otras disciplinas. DBA 5.
Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos
5.1 M.IV Identifico relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de las ecuaciones algebraicas. DBA8, 9
5.5 M.IV Identifico diferentes métodos para solucionar sistemas de ecuaciones lineales. DBA2, 8.

Capitulo IX. Números Complejos $\qquad$

Introducción

Si se llega a la siguiente situación al resolver una ecuación, donde:

En esta sección se analizará el estudio de números no reales que provienen de una raíz par de un número negativo, para esto, veamos la siguiente definición:

Número Imaginario ($\mathbb{I}$)

Un número Imaginario ($\mathbb{I}$) puede describirse como el producto de un número real por la unidad imaginaria $i$, es decir, la expresión $bi$, donde $i = \sqrt{-1}$ llamada unidad imaginaria. Este número Imaginario $i$ se le conoce también como constante imaginaria, ejemplos:

Este tipo de números se conocen como números imaginarios puros y se representan también como una pareja ordenada de la forma $(0, b)$, donde la primera componente es nula.

Análisis de las potencias de $i$

$i = \sqrt{-1}$
$i^2 = (\sqrt{-1})^2 = -1$
$i^3 = (\sqrt{-1})^3 = (\sqrt{-1})^2.(\sqrt{-1}) = -\sqrt{-1} = -i$
$i^4 = (\sqrt{-1})^4 = (\sqrt{-1})^2.(\sqrt{-1})^2 = 1$

$i^5 = (\sqrt{-1})^5 = (\sqrt{-1})^2.(\sqrt{-1})^3 = (-1)(-\sqrt{-1}) = \sqrt{-1} = i$
$i^6 = (\sqrt{-1})^6 = (\sqrt{-1})^2.(\sqrt{-1})^4 = (-1)(1) = -1$
$i^7 = (\sqrt{-1})^7 = (\sqrt{-1})^2.(\sqrt{-1})^5 = (-1)(\sqrt{-1}) = -\sqrt{-1} = -i$
$i^8 = (\sqrt{-1})^8 = (\sqrt{-1})^2.(\sqrt{-1})^6 = (-1)(-1) = 1$

$i^{47}= (i^2)^{23}.i = (-1)^{23}.i = (-1).i = -i = -\sqrt{-1}$

$i^{80}= (i^2)^{40} = (-1)^{40} = (1)$

Capitulo IX. Números Complejos $\qquad$

Número Complejo ($\mathbb{C}$)

Los números complejos ($\mathbb{C}$), están formados por una parte real "$a$" y una parte imaginaria "$bi$", donde $a, b$ son números $\mathbb{R}$ que representan una pareja ordenada $(a, b)$ y se expresan en forma binómica:

En el caso en que $b=0$, se tendrá un número de la forma $a+0i$, el cual corresponde a un número $\mathbb{R}$, por lo que se puede concluir que todos los números $\mathbb{R}$ son también números Complejos, donde la parte imaginaria sería cero, observa la escritura de algunos números complejos:

Generalmente un número complejo se representa por medio de un vector, veamos en el plano la representación de un número Complejo $(a, b)$ y su forma binómica $z = a + bi$:

xploremos.
Mueve el control o ingresa los valores para cada componente, observa el vector que se genera del complejo $z=(a, b)=a + bi$.

Capitulo IX. Números Complejos $\qquad$

Operaciones con números Complejos

Suma o diferencia de números Complejos

Para sumar o restar números complejos se suman o se restán las partes reales y las partes imaginarias, si se tienen dos números complejos en forma binómica, entonces la suma o resta será:

Sumas o diferencias entre números complejos.

Ingresa los valores para cada componente del número complejo, observa la suma de los números.

Si los números complejos están en forma de pareja ordenada, su suma o diferencia se expresa similar a la forma binómica.

Si los números están como pareja ordenada, la primera componente es la suma o resta de las partes reales $(a_1 \pm a_2)$ y la segunda componente es la suma o resta de las partes imaginarias $(b_1 \pm b_2)i$. $$z_1 \pm z_2 =(a, b) \pm (c, d) = (a \pm c, b \pm d)$$ $$ (3, 5) + (2, -3) = (3+2, 5+(-3)) = (5, 2) = 5 + 2i$$

Responde a la siguiente pregunta:

Representación de operaciones en el plano

Para sumar dos vectores gráficamente de manera sencilla, es utilizado el método del paralelogramo.

Consiste en colocar los dos vectores iniciales con su magnitud, dirección y sentido en el origen, de manera que los dos vectores inicien en el mismo punto.

Los dos vectores forman dos lados adyacentes del paralelogramo, los otros lados se construyen trazando líneas paralelas a los vectores opuestos de igual longitud.

El vector suma resultante se representa mediante un vector dado por la diagonal del paralelogramo, partiendo del origen en el que se unen los vectores hasta la intersección de las paralelas trazadas.

Capitulo IX. Números Complejos $\qquad$

xploremos.
Método del paralelogramo para sumar números complejos.

Ingresa los valores para cada componente del número complejo, observa su gráfica.

Multiplicación de números Complejos

Para realizar la multiplicación de números complejos, se opera como una multiplicación entre binomios, se aplica la propiedad distributiva. Si se tienen dos números complejos, entonces la multiplicación será:

Componente real: $\displaystyle\quad a = {a \over a^2+b^2} = {-3 \over (-3)^2 + 5^2} = {-3 \over 34}$

Componente imaginario: $\displaystyle\quad bi = {-b \over a^2+b^2} = {-5 \over (-3)^2 + 5^2} = {-5 \over 34}$

Por lo tanto, el inverso multiplicativo es: $\displaystyle\quad z^{-1} = -{3 \over 34} - {5 \over 34}i$

Capitulo IX. Números Complejos $\qquad$

Multiplicación entre números complejos.

Ingresa los valores para cada componente del número complejo, observa las respuestas.

El sistema de los números complejos tiene la propiedad de la existencia del inverso multiplicativo o recíproco para todo número distinto de cero. La propiedad del inverso multiplicativo se refiere a que para cada número $z$, distinto de cero, existe un número, llamado el inverso, denotado por $z^{−1}$, que cumple:

La conjugada de un número Complejo

El complejo conjugado, o simplemente la conjugada, de un número complejo $z = a + bi $, es otro complejo, y esta dado porla expresión:

La conjugada es: $\quad \bar{z} = -3 - 5i = (-3, -5)$

xploremos.
Observa un número complejo y su conjugada:

Ingresa los valores para cada componente del número complejo, observa la conjugada.

Capitulo IX. Números Complejos $\qquad$

Cuándo se multiplica un número complejo $z$ por su conjugada $\bar{z}$, se esta aplicando una diferencia de cuadrados, por tanto: $$(c + di).(c - di)=c^2-(di)^2$$ donde $\quad i^2=(-1), \quad$ entonces, se tiene que: $$c^2-d^2(i)^2=c^2-d^2(-1)=(c^2+d^2) \in \mathbb{R}$$

Conjugada de $\quad z=5 + 2i\quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad \bar{z}=5 + 2i$

$z\cdot\bar{z}=(5 + 2i)(5 - 2i)=5^2+2^2=14$

División de números Complejos

Para dividir por un número complejo, se multiplica el dividendo y el divisor por el conjugado del divisor, veamos el siguiente proceso en la división de dos números: $$z_1 = a+bi$$ $$z_2 = c+di$$

Conjugada del divisor $\quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad \bar{z_2} = c-di$

Para este ejemplo, se tiene que la parte real es cero, por tanto, el número complejo se representa como: $$z =(0, -{14 \over 5})=0 -{14 \over 5}i$$

Responde a la siguiente pregunta:

Capitulo IX. Números Complejos $\qquad$

Practiquemos

jercicio.
Operaciones entre números complejos-

Resuelve los 6 ejercicios propuestos con número complejos y verifica tus respuestas, oprime el botón solución .

Evaluamos lo aprendido.
Prepárate para la evaluación y mide tus conocimientos de lo aprendido en este capítulo, responde las preguntas a continuación:

Evaluación - 12 preguntas con límite de tiempo - (12 minutos)
Clic en el link, responde y envía los resultados por e-mail.

Capítulo IX: Números Complejos.
Evalúa lo aprendido en el capítulo y envía a tu profesor(a).

$\quad$ Envía tu evaluación
$\space$ Evaluación: Capítulo IX

. Tomada de la Red Educativa Digital Descartes.
Plantillas con Descartes-JS

"La naturaleza está escrita en lenguaje matemático".

Galileo Galilei

Bibliografía