Además de la geometría euclidiana, existen otras geometrías. Dos de las más importantes son la geometría elíptica y la geometría hiperbólica, que fueron desarrolladas en el siglo XIX. Las primeras 15 proposiciones del Libro I de Euclides se cumplen en la geometría elíptica, pero ésta, la Proposición I.16 no. Para más información sobre geometría hiperbólica ver la nota en la Proposición I.29.

La geometría elíptica plana está muy relacionada con la geometría esférica, pero difieren en que los puntos antipodales en la esfera están identificados.

Así, en un plano elíptico un "punto" es una pareja de puntos antipodales sobre la esfera.

Una "línea recta" en un plano elíptico es un arco de un círculo mayor sobre la esfera. Cuando una "línea recta" es extendida, sus extremos eventualmente se juntan así que, topológicamente, se vuelve un círculo. Esto es muy diferente en la geometría euclidiana pues aquí los extremos de una recta nunca se juntan cuando es prolongada indefinidamente.

Un "triángulo" en la geometría elíptica, es un triángulo esférico (o, más precisamente, un par de triángulos esféricos antipodales). La suma de los ángulos internos de un triángulo esférico es siempre mayor que 180º, pero menor que 540º, mientras que en la geometría euclidiana, la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º, como se demuestra en la Proposición I.32.

La geometría elíptica satisface algunos de los postulados de la geometría euclidiana, pero no todos aún con todas la interpretaciones que se den de ellos. Usualmente el Postulado I, para dibujar una recta de un punto a otro, es también interpretado para incluir la unicidad de tal recta. Pero en la geometría elíptica, una "línea recta" completada es topológicamente un círculo así que cualquier par de puntos sobre él lo divide en dos arcos. Por lo tanto, en la geometría elíptica exactamente dos "líneas rectas" unen cualesquiera dos puntos dados.

También el Postulado 2, para prolongar una recta finita de manera continua en una recta, es algunas veces interpretado para incluir la condición de que sus extremos no se juntarán por más que sea prolongada. Bajo esta interpretación, la geometría elíptica no satisface el Postulado 2.

La geometría elíptica tampoco satisface el Postulado 5, el postulado de las paralelas, puesto que cualesquiera dos "líneas rectas" en el plano elíptico se intersectan. Esto es, cualesquiera dos grandes círculos sobre la esfera se encuentran en una par de puntos antipodales.

Finalmente, una "línea recta" completada en el plano elíptico no divide al plano en dos partes como lo hacen las rectas infinitas en el plano Euclidiano. Una "línea recta" completada en el plano elíptico es un círculo mayor sobre la esfera. Cualesquiera dos "puntos" que no están sobre aquella "línea recta", incluyendo dos puntos en el mismo hemisferio, pueden ser unidos por una arco que no intersecte al círculo mayor. Por lo tanto, dos "puntos" permanecen sobre el mismo lado de la "línea recta" completada.

Tomado de:
Los Elementos de Euclides.
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html