Apartado a)
Toma la tangente de ambos lados. Esto da $tanθ = tan(\frac{π}{3}) = \sqrt{3}$. Como $tanθ = y/x$ podemos reemplazar el lado izquierdo de esta ecuación por $y/x$. Esto proporciona $y/x = \sqrt{3}$, que puede reescribirse como $y = x\sqrt{3}$. Esta es la ecuación de una línea recta que pasa por el origen con pendiente $\sqrt{3}$. En general, cualquier ecuación polar de la forma $θ = K$ representa una línea recta a través del polo con una pendiente igual a $tanK$.
Apartado b)
Primero, cuadra ambos lados de la ecuación. Esto da $r^2 = 9$. Luego reemplaza $r^2$ con $x^2 + y^2$. Esto arroja la ecuación $x^2 + y^2 = 9$, que es la ecuación de una circunferencia centrada en el origen con radio $3$. En general, cualquier ecuación polar de la forma $r = k$ donde $k$ es una constante positiva representa una circunferencia de radio $k$ centrada en el origen (Nota: al cuadrar ambos lados de una ecuación es posible introducir nuevos puntos sin querer. Esto siempre debe tenerse en cuenta. Sin embargo, en este caso no introducimos nuevos puntos. Por ejemplo, $(−3, \frac{π}{3})$ es el mismo punto que $(3,\frac{4π}{3})$
Apartado c)
Multiplica ambos lados de la ecuación por $r$. Esto lleva a $r^2 = 6rcosθ − 8rsenθ$. Luego usa las fórmulas
$$r^2=x^2+y^2,\;x=rcosθ,\;y=rsinθ$$Esto genera
$$\begin{aligned} r^2 &= 6(rcosθ)−8(rsenθ)\\ x^2+y^2 &= 6x−8y \end{aligned}$$Para poner esta ecuación en forma estándar, primero mueve las variables del lado derecho de la ecuación al lado izquierdo, luego completa el cuadrado.
$$\begin{aligned} x^2+y^2 &= 6x−8y\\ x^2-6x+y^2+8y &= 0\\ (x^2-6x)+(y^2+8y) &= 0\\ (x^2-6x+9)+(y^2+8y+16) &= 9+16\\ (x-3)^2+(y+4)^2 &= 25 \end{aligned}$$Esta es la ecuación de una circunferencia con centro en $(3, −4)$ y radio $5$. Observa que la circunferencia pasa por el origen ya que el centro está a 5 unidades de distancia.