Vamos a resolver el ejercicio paso a paso.
Paso 1: Expresar las coordenadas en la base \( B \) en función de las coordenadas canónicas
Queremos expresar un vector \( v = (a, b, c) \) en la base canónica de \( \mathbb{R}^3 \) en términos de sus coordenadas \( (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) \) en la base \( B \), donde:
\[B = \left\{ (1,0,0), (1,1,0), (1,0,1) \right\}.\]
Esto significa que el vector \( v \) se escribe como:
\[v = \alpha_1 (1,0,0) + \alpha_2 (1,1,0) + \alpha_3 (1,0,1).\]
Desarrollando:
\[v = (\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3,\; \alpha_2,\; \alpha_3).\]
Comparando con las coordenadas canónicas \( (a,b,c) \), obtenemos el sistema:
\[a = \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3, \quad b = \alpha_2, \quad c = \alpha_3.\]
Despejamos en términos de \( a, b, c \):
\[\alpha_2 = b, \quad \alpha_3 = c, \quad \alpha_1 = a - b - c.\]
Paso 2: Aplicar la transformación \( F \) en función de \(\, a, b, c \)
Sabemos que en la base \( B \), la transformación se expresa como:
\[M{\left( F \right)_{BE}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\]
Esto significa que:
\[F(v) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} \alpha_1 + \alpha_3 \\ -\alpha_1 \end{pmatrix}.\]
Sustituyendo \( \alpha_1 = a - b - c \) y \( \alpha_3 = c \):
\[F(v) = \begin{pmatrix} (a - b - c) + c \\ -(a - b - c) \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} a - b \\ -a + b + c \end{pmatrix}.\]
Como \( E = \{1, x\} \), la expresión analítica de \( F(v) \) es:
\[F(v) = (a - b) + (-a + b + c)x.\]
Paso 3: Hallar una base del núcleo de \( F \)
El núcleo está formado por los vectores \( (a, b, c) \) tales que:
\[F\left((a,b,c)\right)=(a - b) + (-a + b + c)x = 0 + 0x.\]
Comparando coeficientes:
1. \( a - b = 0 \Rightarrow a = b \).
2. \( -a + b + c = 0 \Rightarrow -b + b + c = 0 \Rightarrow c = 0 \).
Entonces los elementos del núcleo son de la forma:
\[(a, a, 0) = a(1,1,0).\]
Por lo tanto, una base del núcleo es: \( \, \fcolorbox{red}{} { \(B_{Nu} =\,\left\{ (1,1,0) \right\}\) } \)
Dado que el núcleo tiene dimensión 1 y el espacio de partida tiene dimensión 3, la imagen de \( F \) tiene dimensión:
\[\dim(\operatorname{Im}(F)) = 3 - 1 = 2.\]
Como el codominio \( P_1 \) tiene dimensión 2, \( F \) es sobreyectiva.
Paso 4: Resolver \( F(v) = -1 + x \)
Queremos resolver:
\[(a - b) + (-a + b + c)x = -1 + x.\]
Comparando coeficientes:
1. \( a - b = -1 \).
2. \( -a + b + c = 1 \).
De la primera ecuación:
\[a = b - 1.\]
Sustituyendo en la segunda:
\[-(b - 1) + b + c = 1.\]
\[- b + 1 + b + c = 1.\]
\[c = 0.\]
Por lo tanto, los vectores \( v \) que cumplen la ecuación son:
\[(b-1, b, 0).\]
Expresándolo en términos de \( b \), tenemos:
\[(-1,0,0) + b(1,1,0), \quad b \in \mathbb{R}.\]
Es decir, la solución es:
\[\fcolorbox{red}{} { \(v = \left\{ (-1,0,0) + b\,(1,1,0) / \; b \in \mathbb{R} \right\}.\)}\]