Para analizar si \( A \) es diagonalizable, verificamos si la suma de las dimensiones de los autoespacios es igual a la dimensión del espacio vectorial, es decir, \( \mathbb{R}^3 \).
Paso 1: Determinar los autovalores y sus multiplicidades
El polinomio característico de \( A \) es:
\[p(\lambda) = \lambda^2 (1 - \lambda).\]
Los autovalores de \( A \) son:
- \( \lambda_1 = 0\; \) con multiplicidad algebraica \( m_{0} = 2 \).
- \( \lambda_2 = 1\; \) con multiplicidad algebraica \( m_{1} = 1 \).
Paso 2: Verificar la dimensión de los autoespacios
Nos dicen que el subespacio \(\, S = \{ x \in \mathbb{R}^{3} \mid x_1 + x_2 + x_3 = 0 \}\,\) es un autoespacio de \( A \).
- Para \(\; \lambda = 0 \):
- Como \( S \) es un autoespacio, y dado que está definido por una ecuación lineal, tiene dimensión 2.
Por lo tanto, la multiplicidad geométrica de \( \lambda = 0 \) es \( dim(S_{0}) = 2 \).
- Para \(\; \lambda = 1 \):
- Como \( A \) es una matriz \( 3 \times 3 \), la dimensión del espacio vectorial es 3.
- La multiplicidad algebraica total es \( m_{0} + m_{1} = 2 + 1 = 3 \).
- La multiplicidad geométrica de \( \lambda = 1 \) debe ser \( dim(S_{1}) = 1 \), ya que la suma de las dimensiones de los autoespacios no debe ser mayor que 3.
Paso 3: Concluir si \( A \) es diagonalizable
Una matriz es diagonalizable si y solo si la suma de las multiplicidades geométricas es igual a la dimensión de la matriz.
Aquí tenemos:
\[ dim(S_{0}) + dim(S_{1}) = 2 + 1 = 3\]
Como la suma coincide con la dimensión de \( \mathbb{R}^3 \), A es diagonalizable.