Para que \( \lambda = 3 \) sea autovalor doble y la matriz \( M \) sea diagonalizable, debemos garantizar que:

1)   El polinomio característico tenga \( (3-\lambda) \) como factor doble.
2)   La dimensión del autoespacio asociado a \( \lambda = 3 \) sea 2, es decir, su multiplicidad geométrica debe ser 2.

Paso 1:   Cálculo del polinomio característico

El polinomio característico de \( M \) se obtiene resolviendo: \[\det(M - \lambda I) = 0.\] Restamos \( \lambda I \): \[M - \lambda I = \begin{pmatrix} 1 - \lambda & 2 & 3 \\ 2 & a - \lambda & b \\ 0 & 0 & 3 - \lambda \end{pmatrix}\] El determinante se obtiene expandiendo por la tercera columna: \[\det(M - \lambda I) = (3 - \lambda) \det \begin{pmatrix} 1 - \lambda & 2 \\ 2 & a - \lambda \end{pmatrix}\] Calculamos el determinante de la submatriz \( 2 \times 2 \): \[\begin{vmatrix} 1 - \lambda & 2 \\ 2 & a - \lambda \end{vmatrix} = (1 - \lambda)(a - \lambda) - (2)(2) = (1 - \lambda)(a - \lambda) - 4\] Sustituyéndolo en la expresión del determinante: \[\det(M - \lambda I) = (3 - \lambda) \left[ (1 - \lambda)(a - \lambda) - 4 \right]\] Queremos que \( \lambda = 3 \) sea raíz doble. Para lograrlo, el polinomio característico debe tener la forma: \[(3 - \lambda)^2(\lambda - \lambda_2)\] Comparando con nuestra expresión, expandimos: \[(3 - \lambda) \left[ (1 - \lambda)(a - \lambda) - 4 \right] = (3 - \lambda)^2(\lambda - \lambda_2)\] Para que \( (3 - \lambda) \) aparezca como factor cuadrado, el término entre corchetes debe ser proporcional a \( 3 - \lambda \), es decir: \[(1 - \lambda)(a - \lambda) - 4 = k(3 - \lambda)\] Para hallar \( a \), evaluamos en \( \lambda = 3 \), lo que debe anular el término entre corchetes: \[(1 - 3)(a - 3) - 4 = 0\] \[(-2)(a - 3) - 4 = 0\] \[-2a + 6 - 4 = 0\] \[-2a + 2 = 0\] \[a = 1\]

Paso 2:   Condición para la diagonalización

Para que \( M \) sea diagonalizable, el autoespacio asociado a \( \lambda = 3 \) debe tener dimensión 2. Esto se cumple si el rango de \( M - 3I \) es 1 (porque una matriz de orden 3 con un autovalor de multiplicidad 2 y otra raíz simple debe tener un núcleo de dimensión 2). Sustituyendo \( a = 1 \): \[M - 3I = \begin{pmatrix} -2 & 2 & 3 \\ 2 & -2 & b \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\] Para que la dimensión del núcleo sea 2, una de las filas debe ser combinación lineal de las otras. La segunda fila debe ser un múltiplo de la primera: \[(2, -2, b) = k(-2,2,3)\] Igualando componentes:

1)   \( 2 = -2k \Rightarrow k = -1 \).
2)   \( -2 = 2k = -2 \) (se cumple).
3)   \( b = 3k = -3 \).
Por lo tanto, \( a = 1 \) y \( b = -3 \) garantizan que \( \lambda = 3 \) sea autovalor doble y que \( M \) sea diagonalizable.