Alrededor de 100 unidades didácticas o recursos educativos de las áreas de matemáticas y física para el nivel de Licenciatura. Algunos también pueden ser usados en el bachillerato. Participaron en su elaboración académicos de México, España, Colombia y Chile. Casi todos pueden ser visualizados en dispositivos móviles, además de en computadoras con cualquier sistema operativo. Basta contar con un navegador de internet actualizado a los estándares de HTML-5. Todos estos recursos utilizan el Intérprete DescartesJS, y muchas de ellas también utilizan el intérprete de Geolab en JavaScript, desarrollado por el Instituto de Matemáticas y el CIMAT, y algunas utilizan el intérprete de Diálogos. Cabe mencionar que en este sub-proyecto se contó con la participación activa de varias instituciones, pero especialmente del Instituto de Matemáticas de la UNAM.
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En muchas áreas del conocimiento se maneja información que es almacenada con diferentes tipos de datos, los cuales deben ser procesados para obtener otra información. Las matrices, permiten el almacenamiento de grandes cantidades de datos que, con el uso de los computadores, han permitido realizar cálculos o procesamientos que manualmente demandaban mucho tiempo.
Los objetivos de esta unidad son:
• Reconocer los elementos y el tamaño de una matriz.
• Realizar operaciones con matrices.
Los objetivos de esta unidad son:
• Calcular la matriz inversa.
• Resolver un sistema lineal de ecuaciones, usando la matriz inversa.
• Resolver un sistema lineal de ecuaciones, usando el método de eliminación gaussiana.
En diversos campos de la ingeniería y las matemáticas es necesario calcular los valores y vectores propios de una matriz cuadrada. Algunos campos de aplicación son las Ecuaciones diferenciales, los Sistemas eléctricos y el Análisis de estructuras en ingeniería civil.
En esta unidad se busca el logro de los siguientes objetivos.
• Encontrar el polinomio característico de una matriz.
• Encontrar valores y vectores propios de una matriz.
• Diagonalizar matrices.
Se presenta la geometría del caleidoscopio y se exploran las transformaciones (reflexiones, traslaciones, rotaciones y pasos) involucradas en la producción de las imágenes de un caleidoscopio por medio de la reflexión respecto a los tres lados de un triángulo equilátero.
Esto se hace con el objeto de llevar al estudiante a descubrir y conocer las transformaciones lineales isométricas del plano y, a través de ellas, el origen de la Teoría de Grupos.
El objetivo de esta unidad es presentar al alumno los tres conceptos fundamentales del cálculo: el límite, la derivada y la integral, y el teorema fundamental del cálculo. El alumno podrá experimentar con los interactivos observando que el cálculo se basa en problemas de resolver límites, ya sea el límite de la suma de polígonos para el caso de la integral, o el límite de la pendiente de dos puntos arbitrariamente cercanos en una curva para la derivada. Se explica que el teorema fundamental del cálculo permite relacionar a la derivada e integral como funciones inversas.
Se presentan algunos conceptos relacionados con las sucesiones, y dos tipos especiales de ellas: las aritméticas y las geométricas. Asimismo, se estudia el problema del límite de una sucesión, mostrando gráficamente el significado de convergencia a un número real, y de divergencia a infinito.
Los objetivos de la unidad son los siguientes:
• introducir el concepto de convergencia de una serie
- analizar la convergencia de algunas series notables como son las geométricas y las armónicas
El objetivo de esta unidad es introducir al alumno al concepto de sucesión. Para ello, se proporciona una ecuación inicial, cuyos parámetros pueden modificarse. El alumno puede editar la ecuación misma para probar ecuaciones de su elección. La sucesión se calcula paso a paso para observar cómo cambia respecto al parámetro n. Es posible observar, en caso de que la haya, que la sucesión tiene una cota que no es rebasada, y ésta es gráficamente representada por una recta para introducir el concepto de asíntota. Lo mismo se hace con sucesiones generadas mediante la aplicación recursiva de una función y las sucesiones correspondientes a una serie.
El objetivo de la unidad es presentar al alumno el concepto de graficación de una función. Mediante la unidad, podrá graficar funciones de su elección. Se permite al alumno graficar más de una función simultáneamente y se cuentan con pulsadores que representan parámetros que el alumno puede incluir en sus funciones, de tal suerte que pueda observar el efecto de tales al variarlos. Esta unidad puede aprovecharse, por ejemplo, para ilustrar el concepto de 'recta tangente' a una curva en un punto al graficar la función y su primera derivada.
El objetivo de esta unidad es adquirir los conceptos de simetría con respecto a una recta y con respecto a un punto en el plano cartesiano y definir los criterios algebraicos que caracterizan dichas simetrías, tanto en coordenadas cartesianas como en coordenadas polares, haciendo énfasis en las funciones trigonométricas.
En esta unidad se presenta el Teorema del Valor Medio para integrales y en consecuencia el concepto de valor medio o promedio de una función.
Como objetivos específicos se plantean:
• Conocer el Teorema del Valor Medio integral y comprobarlo en diversos casos prácticos.
• Dar una interpretación geométrica.
• Calcular el valor medio de una función y el punto en el que se alcanza.
Se estudia el resultado gráfico de una operación con dos funciones f(x) y g(x).
Específicamente las operaciones de suma f(x) +g(x), diferencia f(x)-g(x), producto f(x)*g(x), los cocientes f(x)/g(x) y g(x)/f(x) y las composiciones f(g(x)) y g(f(x)). Primero el estudio se hace con funciones f(x) y g(x) lineales y luego con funciones más generales, en particular con polinomios, senoides y campanas de Gauss.
El objetivo de esta unidad es conocer y aplicar el polinomio de Taylor para la aproximación local de funciones y medir el error de esa aproximación; observando la incidencia que tiene en esta medida el grado del polinomio utilizado y la cercanía al punto en el que se hace el desarrollo.
La determinación de la recta tangente a una curva y el cálculo de áreas son dos problemas que han ido resolviéndose históricamente por caminos diferentes y, a priori, parecen no tener relación. Pero el Cálculo Diferencial permitió mostrar que, ambos, no son más que dos caras de la misma moneda.
Adicionalmente, la autoría de éste cálculo fue muy disputada entre Newton y Leibniz y ello dio base a establecer que la misma queda asociada a la fecha de publicación. Newton y Leibniz fueron dos genios, mal avenidos, pero ciertamente ambos llegaron a ver más no sólo por ir a hombros de gigantes, sino porque ambos supieron mirar muy lejos.
En esta unidad se:
a) Formula el Teorema fundamental del Calculo Integral que relaciona a la función área con la derivación
b) Se enunciar la Regla de Barrow que permite el cálculo de la integral definida en base a las primitivas de una función y consecuentemente establece la necesidad de calcular dichas primitivas.
c) Aprender a calcular primitivas por diferentes métodos.
d) Aplicación al cálculo de áreas de trapecios mixtilíneos y área encerrada entre dos curvas.
Una de las aplicaciones de la integral definida es el cálculo del volumen de un sólido de revolución, que se obtiene al rotar una región del plano alrededor de una recta de ese mismo plano.
En esta unidad se busca el logro del siguiente objetivo: "Calcular volúmenes de revolución generado por el giro alrededor del eje OX de la región limitada por una o dos funciones"
En esta esta unidad didáctica el estudiante puede aprender a localizar los centroides de secciones geométricas simples, compuestas y complejas.
En esta unidad se presentan la esfera y los sectores de un cono circular recto que forman una cubierta ajustada de la esfera.
Se evidencia que al hacer dichas secciones más finas, éstas se ajustan muy precisamente a la esfera, por lo que el cálculo de la superficie de la esfera puede hacerse utilizando las secciones del cono cuya área puede calcularse.
Adicionalmente, se hace la observación de que los sectores cónicos comparten el área de un cilindro con igual altura y un radio igual al radio medio del sector, así pudiendo relacionar el área de la esfera con la del mínimo cilindro que la contiene, que por cierto es el resultado del cual Arquímedes se sentía más orgulloso.
Se introduce el concepto de derivada direccional. Asimismo, se muestran sus propiedades y su relación con el gradiente.
Los objetivos de la unidad son los siguientes:
- Introducir el método de mínimos cuadrados.
- Mostrar ejemplos de su aplicación práctica.
Se aborda el problema de encontrar los máximos y mínimos relativos de una función de varias variables. Se pretende:
- Introducir el método del hessiano para la clasificación de extremos de funciones de varias variables.
- Mostrar gráficamente la interpretación del método de Lagrange para el cálculo de extremos condicionados en el caso de funciones de dos variables y una restricción.
En esta unidad se desarrollará el TG desde un punto de vista geométrico y, mediante ejemplos, se mostrará su aplicación a distintos problemas, en particular, al funcionamiento de un planímetro, el cual es un instrumento mecánico que permite calcular el área delimitada por una curva plana cerrada.
El análisis combinatorio es utilizado en áreas donde tengan relevancia las distintas formas de contar o agrupar elementos. Se ha utilizado en la teoría de juegos, en problemas computacionales, en la teoría de la probabilidad, en juegos de ingenio y mucho más.
En esta unidad se busca el logro de los siguientes objetivos:
• Manejar la regla de la multiplicación y aplicarla en algunos ejercicios.
• Manejar las reglas de permutaciones y aplicarlas en algunos ejercicios.
• Manejar las reglas de combinaciones y aplicarlas en algunos ejercicios.
Presentar un resultado poco conocido para el cálculo del área de polígonos simples cuyos vértices se encuentran en coordenadas enteras: el Teorema de Pick. Se trata de una herramienta muy útil que es, además, fácil de utilizar y aprender.
Se introducirá al alumno a las redes de mundo pequeño, para que conozca algunas de sus propiedades básicas y sea capaz de cuantificar y distinguir sus principales características.
La ley de la Oferta y la Demanda es un modelo económico, matemático, del comportamiento del mercado en el que se establece una relación entre el número de unidades producidas de un producto y el precio abonado por ellas. Estas cantidades van ajustándose progresivamente hasta alcanzar un precio de equilibrio en el que todo lo producido se vende y a la vez la demanda queda completamente satisfecha.
Identificar y aplicar los conceptos relacionados con el cálculo de una operación financiera que tiene como característica pagos uniformes iguales y periódicos, utilizando para ello videos, actividades interactivas y solución de problemas.
Identificar y aplicar los conceptos relacionados con el cálculo de una operación financiera que tiene como característica pagos periódicos que aumentan o disminuyen de manera uniforme, utilizando para ello videos, actividades interactivas y solución de problemas.
Se estudia el tiro parabólico como un fenómeno físico desde un punto de vista dinámico. Adicionalmente, se hace un estudio geométrico de las trayectorias generadas por un proyectil disparado a igual velocidad y con distintos ángulos, incluyendo su envolvente y el lugar geométrico de sus focos. Se incluye una justificación de dicho abordaje geométrico desde el punto de vista de conservación de la energía, así como una deducción del dicho abordaje.
A través de una conversación con un tutor digital y la exploración simultánea de modelos interactivos y simulaciones, el estudiante hará observaciones, formulará hipótesis y realizará inferencias con el objeto de entender el movimiento browniano, así como su papel en la corroboración del modelo cinético de los fluidos y la naturaleza corpuscular de la materia. Asimismo, comprenderá la importancia del trabajo de Albert Einstein en la explicación de dicho fenómeno.
A través de una conversación con un tutor digital y la observación y/o manipulación simultánea de modelos y simuladores, el estudiante conocerá y entenderá el efecto fotoeléctrico, así como las aplicaciones tecnológicas que tiene.
En esta unidad didáctica el estudiante comprenderá el comportamiento del decaimiento radiactivo mediante la determinación de la vida media de una muestra radiactiva.
En esta unidad didáctica el estudiante conocerá las teorías que se desarrollaron con la intención de darle solución al problema de la radiación del cuerpo negro. Además conocerá el proceso para encontrar el valor de la constante de Planck por medio de el efecto fotoeléctrico.
A lo largo de esta unidad se desarrollará el concepto de campo eléctrico en un conductor, haciendo énfasis en la configuración alcanzada por la distribución de carga eléctrica en la superficie del conductor, para explicar porque dicha configuración genera que el campo eléctrico del conductor sea cero.
En esta unidad didáctica el estudiante conocerá las propiedades y la forma en la que se crean los rayos X, además conocerá los tipos de estructura que tienen los materiales especialmente la de los cristales que tienen tamaños similares a la longitud de onda de los rayos X. Finalmente entenderá la ley de Bragg y conocerá su utilidad en la cristalografía.
Se introducirá al alumno al tema de Caos. Se desarrollará el tema desde el ámbito de los mapeos discretos unidimensionales, en especial el mapeo logístico, para que el alumno conozca las principales características del caos, y algunos métodos de observación y cuantificación.
En esta unidad se presentan principalmente los fractales de Koch, Hilbert, y la isla de Gosper con el objeto de introducir al alumno las dos propiedades de los fractales: autosimilitud e invarianza de escala. Adicionalmente, se analiza la divergencia de la longitud de las curvas si se consideran sólo unidimensionales, justificando así la necesidad de considerar dimensiones distintas para la curva, que no necesariamente han de ser enteras. A pesar de considerarse sólo fractales diseñados, se deja abierta la posibilidad de considerar dimensión fractal para fractales "experimentales", mismos que se abordan en otra unidad.
Continuando el tema introducido en la unidad 'La dimensión fractal: fractales generados por algoritmos no aleatorios', la presente unidad lidia con fractales generados por algoritmos que involucran aleatoriedad, en particular el generado mediante agregación limitada por difusión (DLA, por sus siglas en inglés de Diffusion Limited Aggregation). Se estudia otra forma de cálculo de la dimensión fractal para ellos (una forma de conteo de celdas conocido en inglés como 'box counting method'), y se pone en relación con el ejemplo del fractal de Hilbert de la unidad previa. Adicionalmente, se hace una asociación con los fractales presentes en la naturaleza y se sugiere a la dimensión fractal como una "huella digital" del algoritmo de formación de dichos fractales, misma que compartirán todos con un algoritmo semejante.
El objetivo de esta unidad es mostrar al estudiante el origen y la validez de la famosa fórmula:
área = base por altura sobre dos, para calcular el área de un triángulo y prepararlo para reconocer las diversas situaciones en las que no puede ser aplicada directamente y cómo resolverlas usando las herramientas matemáticas más simples, esencialmente, el Teorema de Pitágoras y sistemas de ecuaciones de primer y segundo grados.
El objetivo de esta unidad es mostrar gráficamente al estudiante la semejanza de triángulos cuando comparten 1) un mínimo de 2 ángulos o, 2) cuando comparten un ángulo y sus lados adyacentes son proporcionales entre sí. Se demuestra que los triángulos semejantes tienen sus lados proporcionales. La presentación de esta unidad es equivalente a la teoría de las proporciones de Eudoxo que se encuentra en el libro V de Los Elementos de Euclides.
En esta unidad se presentan algunas aplicaciones de la Trigonometría plana. Se suponen conocidos por el lector la resolución de triángulos rectángulos, por lo que el estudio se centra en los triángulos cualesquiera.
Como objetivos específicos se plantean:
• Conocer los Teoremas del Seno y del Coseno.
• Resolver triángulos cualesquiera.
En un triángulo podemos distinguir cuatro centros: ortocentro, circuncentro, baricentro, incentro; que son los puntos de intersección de cuatro grupos de rectas notables: alturas, mediatrices, medianas, bisectrices.
En este interactivo estudiamos las mediatrices y el circuncentro, probamos que las mediatrices de un triángulo
son concurrentes.
En un triángulo podemos distinguir cuatro centros: ortocentro, circuncentro, baricentro, incentro; que son los puntos de intersección de cuatro grupos de rectas notables: alturas, mediatrices, medianas, bisectrices.
En este interactivo estudiamos las medianas y el gravicentro, probamos, usando el Teorema de Ceva que las medianas de un triángulo son concurrentes.
En un triángulo podemos distinguir cuatro centros: ortocentro, circuncentro, baricentro, incentro; que son los puntos de intersección de cuatro grupos de rectas notables: alturas, mediatrices, medianas, bisectrices.
En este interactivo empezaremos con las alturas y el ortocentro, probamos, usando el Teorema de Ceva que las alturas de un triángulo son concurrentes.
Se estudian los teoremas de Ceva y Menelao y algunas de sus aplicaciones, por ejemplo: la existencia del ortocentro, incentro y gravicentro de un triangulo.
Los teoremas de Ceva y Menelao están separados 15 siglos en la historia, sin embargo, se estudian juntos ya que uno es el dual del otro. El teorema de Ceva da condiciones para que tres puntos que están en los lados de un triángulo sean colineales y el de Menelao dice cuándo tres rectas que pasan por los vértices de un triángulo son concurrentes.
La potencia de un punto respecto a un círculo es una propiedad que tiene que ver con la distancia de él a dicho círculo, pero da más información, por lo cual es posible hacer construcciones y obtener resultados interesantes a partir de ella. En particular, se puede definir la recta radical de dos círculos, que generaliza a la recta que pasa por los puntos de intersección, aún en el caso en el que los círculos no se corten.
La idea de este interactivo es mostrar las construcciones de potencia de un punto y eje radical y algunas propiedades de ellos.
El objetivo de esta unidad es familiarizar al alumno con las curvas básicas de la geometría analítica, así como mostrar gráficamente que provienen de cortar un cono con un plano (a lo cual se debe el nombre 'secciones cónicas'). En una de las escenas el usuario puede manipular la apertura, inclinación y posición del cono para hacer evidente que es posible construir las cuatro secciones (circunferencia, elipse, parábola e hipérbola) con cortes del cono. Se muestra la equivalencia entre las secciones cónicas y la ecuación general de segundo grado en dos variables.
En esta unidad didáctica se busca la comprensión del concepto de vector desde el punto de vista de la Física, así como de las siguientes operaciones y su aplicación:
• Suma
• Producto por escalar
• Diferencia
• Producto punto
• Producto cruz
La intención de esta unidad didáctica es mostrar al usuario cómo a partir de operaciones entre vectores se puede definir una recta y se puede obtener información de la misma a través de los elementos que conforman su ecuación vectorial.
El enfoque vectorial permite estudiar aplicaciones directas de la recta como la distancia de un punto a una recta, identificación de rectas paralelas y perpendiculares, obtención del punto de intersección entre dos rectas y también la obtención del ángulo entre dos rectas
El objetivo de esta serie de interactivos es estudiar ejemplos planteados que cuentan con condiciones que debe cumplir un punto del plano para poder ser considerado un elemento del lugar geométrico. Una vez establecida las condiciones, procederemos a encontrar la ecuación que debe satisfacerse para identificar la curva.
En este caso, se plantea una condición que genera una recta.
El objetivo de esta serie de interactivos es estudiar ejemplos planteados que cuentan con condiciones que debe cumplir un punto del plano para poder ser considerado un elemento del lugar geométrico. Una vez establecida las condiciones, procederemos a encontrar la ecuación que debe satisfacerse para identificar la curva.
En este caso, se plantea encontrar el lugar geométrico de los puntos medios de ciertos rectángulos inscritos en un triángulo.
Con lo anterior se plantean los siguientes objetivos en la presente unidad didáctica:
1. Explicar de manera didáctica, el concepto matemático de círculo, y en particular su forma vectorial.
2. Revisar y distinguir las formas de representar este lugar geométrico: la ecuación ordinaria, paramétrica y vectorial.
3. Comprender la relación que hay entre las variables involucradas en este lugar geométrico.
4. Ofrecer los instrumentos teóricos necesarios para la resolución de problemas que involucran problemas asociados con el círculo en su forma vectorial.
5. Interpretar gráficamente cada uno de los parámetros y su vínculo con el círculo.
Se definen:
a) La recta tangente a una función en un punto, como la recta que mejor se aproxima a dicha función en el entorno próximo a él, y se determina su ecuación. Se aborda el cálculo de derivadas.
b) El plano tangente a una superficie en un punto, como el plano que mejor se aproxima a dicha superficie en el entorno proximo a él. Se presentan tanto las derivadas parciales como las direccionales, y cómo calcular éstas a partir de las primeras.Se ve la relación existente entre continuidad, derivabilidad y diferenciabilidad. Se muestra que la existencia de todas las derivadas direccionales, no es suficiente para la existencia del plano tangente. Pero si existe éste, basta calcular las derivadas parciales.
El objetivo de esta unidad es mostrar el sistema de coordenadas polares en el que se fija un punto O llamado polo y un segmento horizontal que parte de este punto llamado eje polar. Cada punto P queda fijado por la distancia de P al polo (r) y el ángulo que determina el segmento OP con el eje polar (θ).
El objetivo de esta unidad didáctica es mostrar al estudiante cómo se genera la gráfica de algunas curvas cíclicas como la trayectoria de un cuerpo en movimiento: Cicloides, Epicicloides e Hipocicloides.
El objetivo de esta unidad didáctica es mostrar al estudiante cómo se genera la gráfica de algunas curvas cíclicas como la trayectoria de un cuerpo en movimiento y como generalización de las Cicloides, Epicicloides e Hipocicloides: Trocoides, Epitrocoides e Hipotrocoides.
Estudio de las rotaciones y traslaciones en el plano cartesiano aplicadas a las cónicas para ver cómo se simplifican sus ecuaciones y pueden obtenerse fácilmente sus características.
Estudio de las rotaciones y traslaciones en el plano cartesiano aplicadas a las parábolas para ver cómo se simplifican sus ecuaciones y pueden obtenerse fácilmente sus características.
El objetivo de esta serie de interactivos es estudiar ejemplos planteados que cuentan con condiciones que debe cumplir un punto del plano para poder ser considerado un elemento del lugar geométrico. Una vez establecida las condiciones, procederemos a encontrar la ecuación que debe satisfacerse para identificar la curva.
En este caso, se consideran dos puntos A y B y una constante K. Se buscan los puntos M para los cuales el producto de las pendientes de las rectas AM y BM es igual a K.
En la imagen se ve que el lugar geométrico formado por dichos puntos M forman una cónica.
El objetivo de esta serie de interactivos es estudiar ejemplos planteados que cuentan con condiciones que debe cumplir un punto del plano para poder ser considerado un elemento del lugar geométrico. Una vez establecida las condiciones, procederemos a encontrar la ecuación que debe satisfacerse para identificar la curva.
En este caso, se plantea una condición que genera un círculo.
El objetivo de esta serie de interactivos es estudiar ejemplos planteados que cuentan con condiciones que debe cumplir un punto del plano para poder ser considerado un elemento del lugar geométrico. Una vez establecida las condiciones, procederemos a encontrar la ecuación que debe satisfacerse para identificar la curva.
En este caso, se hace una construcción del lugar geométrico que describe un punto M cuando se mueve un punto A en un círculo. Se prueba que dicho lugar geométrico también es un círculo.
El objetivo de esta serie de interactivos es estudiar ejemplos planteados que cuentan con condiciones que debe cumplir un punto del plano para poder ser considerado un elemento del lugar geométrico. Una vez establecida las condiciones, procederemos a encontrar la ecuación que debe satisfacerse para identificar la curva.
En este caso, se hace una construcción del lugar geométrico que describe un punto M cuando un vértice de un triángulo se mueven sobre una recta de manera que el área de dicho triángulo sea constante.
Se prueba que dicho lugar geométrico es una hipérbola.
Se determina la trayectoria mínima sobre una esfera entre dos de sus puntos, es decir se determina la geodésica entre esos dos puntos.
Se define qué es un segmento esférico y un triángulo esférico.
Se comprueba que la suma de los ángulos de un triángulo esférico es superior a 180º.
Y se muestra que la geometría esférica no es una geometría euclídea, que hay otras geometrías.
Se introducen los fundamentos de la Geometría Euclídea. Se enuncian los elementos básicos y los postulados formulados por Euclides, y con base en ellos se demuestra que la suma de los ángulos de un triángulo plano son dos ángulos rectos.
Asimismo, se demuestra que hay otros modelos, en que dicha suma es una cantidad superior o inferior a esos dos ángulos rectos.
Finalmente, se muestra que hay modelos geométricos que en los que no se cumple el postulado quinto de Euclides, que hay geometrías no euclídeas.
Se plantea el modelo geométrico bidimensional denominado "El disco de Poincaré": interior del círculo, en el que las geodésicas son arcos de circunferencias euclídeas ortogonales a su frontera.
Se muestran los objetos básicos en el disco de Poincaré: los segmentos, circunferencias, ángulos y sus particularidades para el observador euclídeo.
Se comprueba que la suma de los ángulos de un triángulo en el disco de Poincaré es inferior a 180º.
Finalmente se muestra que la geometría del disco de Poincaré no es una geometría euclídea, es decir, hay otras geometrías.
Se presentan la generalización de la fórmula de Herón y del Teorema de Pitágoras a m vectores en R^(n). Se pretende que el lector se familiarice con estas fórmulas y su significado geométrico.
Se presenta la fórmula para calcular el m-volumen. Una sola fórmula para encontrar las distancias entre puntos, rectas, planos o cualquier par de subvariedades lineales afines de R^m.
Identificación de los elementos y operaciones básicas de la lógica proposicional, de tal manera que se pueda analizar y evaluar la estructura proposicional de un enunciado.
Los Diagramas de Venn son representaciones usadas en la rama de la lógica matemática conocida como teoría de conjuntos. Estos diagramas se usan para representar la agrupación de los elementos en conjuntos y las diferentes combinaciones lógicas en uno o más atributos.
Los objetivos a lograr en esta unidad son:
• Representar, en un diagrama de Venn, uno, dos o tres atributos.
• Representar, en un diagrama de Venn, las operaciones entre conjuntos.
• Demostrar, gráficamente, las leyes de Morgan
Una alternativa más cómoda y, en nuestro concepto, más lógica, para representar dos o más conjuntos, son los diagramas de Carroll. En Game of Logic, Lewis Carroll hace una introducción instructiva a los conceptos de la lógica, usando diagramas biliterales y triliterales tipo eulerianos. Por otra parte, las representaciones de uno o más atributos y las simplificaciones booleanas o de circuitos lógicos se comprenden mejor con los mapas de Karnaugh que, a través del agrupamiento de ceros y unos, dentro del mapa, ayuda a visualizar las relaciones lógicas entre las variables y conduce directamente a una función booleana simplificada. Ambos diagramas, Carroll y Karnaugh, tienen una lógica de construcción similar.
Los objetivos a lograr en esta unidad son:
• Representar, en un diagrama de Carroll, dos, tres o cuatro atributos.
• Representar, en un diagrama de Carroll, las operaciones entre conjuntos.
• Utilizar los mapas de Karnaugh para representar relaciones lógicas entre dos, tres y cuatro variables.
Se introduce el estudio de las categorías, functores y transformaciones naturales.
Para esto se presenta el concepto de categoría que es una generalización de la teoría de conjuntos clásica y se demuestra su aplicabilidad y la conveniencia de aprenderlas.
El objetivo de esta unidad interactiva es continuar con el estudio de las categorías, functores y transformaciones naturales. En esta lección introducimos el concepto de identidad en las categorías, el cual es un ingrediente esencial en la definición de éstas.
El objetivo de esta unidad interactiva es continuar con el estudio de las categorías, functores y transformaciones naturales. En esta lección introducimos el concepto de composición de morfismos en las categorías, el cual es el último ingrediente en la definición de éstas.
Comprender que son las constantes, las variables y cual es su importancia en la programación de computadoras, de igual forma entender que son los tipos de datos, cómo utilizarlos y cuales son las más comunes en los diferentes lenguajes de programación
Se presentan los algoritmos de ordenamiento de burbuja, por inserción, por mezcla y rápido. Así como explicaciones sobre el proceso del ordenamiento y pseudocódigo para la compresión de los algoritmos.
El propósito de esta unidad es profundizar en los conocimientos considerados elementales sobre el sistema planetario, pero que en realidad muy pocos han revisado en detalle y con la profundidad necesaria para poder comprender a fondo el contenido y significado de las leyes de Kepler. La unidad pretende preparar al estudiante para el estudio profundo y detallado de las trayectorias planetarias según Johannes Kepler.
Se presentan los parámetros keplerianos que se utilizan para definir una trayectoria elíptica en el espacio.
En particular se explican los conceptos de equinoxio vernal, período, excentricidad, semieje mayor, perihelio, afelio, longitud del nodo ascendente, longitud de periapsis y anomalía verdadera.
Se explica la Primera ley de Kepler que consiste en que todos los planetas siguen trayectorias del tipo descrito y se presentan los valores característicos de la órbita de cada uno de los planetas. Se discuten brevemente las diferencias entre ellos.
El objetivo de esta unidad es presentar la Segunda Ley de Kepler que dice que los radios vectores, i.e.los segmentos del Sol a cada planeta, barren áreas iguales en tiempos iguales. Se discute el significado de esta ley y se muestran sus implicaciones en la capacidad de predecir la posición de todos los planetas en todo momento a partir de las de un momento dado. La unidad presenta una escena que hace precisamente eso.
En la estática de una partícula, son varios los objetivos de aprendizaje a lograr. Un primer objetivo es determinar la resultante de varias fuerzas coplanares, con el método gráfico o el analítico. Un segundo objetivo, es hallar el valor de una fuerza, considerando las ecuaciones de equilibrio de la partícula.
Con esta unidad didáctica el estudiante podrá comprender y aplicar el concepto de momento de una fuerza con respecto a un punto, a través de vídeos, objetos interactivos de aprendizaje y la solución varios de problemas propuestos.
Toda estructura se encuentra soportada por uno o más apoyos, para su análisis es importante determinar las fuerzas o reacciones que generan estos apoyos, puesto que son ellos los que garantizan el equilibrio global de la estructura. Los objetivos de esta unidad son:
• Dibujar el diagrama de cuerpo libre de un cuerpo rígido.
• Determinar las reacciones de un cuerpo rígido, usando las ecuaciones de equilibrio.
Todo elemento estructural sometido a fuerzas externas reacciona con otras fuerzas internas, las cuales permiten conocer si el elemento está en capacidad de resistir dichas fuerzas. El diseño de un elemento estructural depende de las propiedades del material y de la determinación de las fuerzas internas del elemento. Así las cosas, en esta unidad, tendremos como objetivos:
Determinar las fuerzas internas que actúan en un punto cualquiera de un elemento estructural.
Elaborar los diagramas de fuerza cortante y de momento flector.
Una viga es un elemento estructural que se somete a cargas que actúan transversalmente al eje longitudinal, originando deformaciones y esfuerzos internos. Es importante, para el diseño de estos elementos, comprender el concepto de flexión, la curva elástica generada y cómo se determinan las deformaciones y esfuerzos internos. En esta unidad puede ayudar a comprender el concepto de flexión en una viga sometida a cargas externas y a calcular los esfuerzos por flexión.
El objetivo de esta unidad es aprender a reducir una o más fuerzas distribuidas a una fuerza puntual resultante.
Los objetivos de la unidad son los siguientes:
- mostrar diferentes fórmulas de derivación numérica (diferencias progresivas, regresivas y centradas) justificando su validez a partir de desarrollos en serie de Taylor.
- analizar el error de la aproximación numérica de la derivada en un punto cuando se utilizan estas fórmulas.
En esta unidad se pretende:
- aproximar una integral definida utilizando la regla del trapecio
- aproximar una integral definida utilizando la regla de Simpson
- analizar los errores de aproximación en la regla del trapecio y en la regla de Simpson
Se introducen los métodos iterativos para la resolución de ecuaciones no lineales y se analiza cómo pueden construirse.
Asimismo, se muestran ejemplos de convergencia monótona, convergencia oscilante, divergencia monótona y divergencia oscilante.
Por último, se presenta la generalización de la construcción de estos métodos de punto fijo, y se comprueba que el de Newton es un caso particular de los mismos.
Resolver una ecuación f(x)=0 es determinar aquellos valores que verifican esa igualdad.
La teoría de Galois muestra cómo las ecuaciones polinómicas --las que podemos considerar como las más sencillas al intervenir sólo sumas, restas y multiplicaciones-- de grado mayor o igual que cinco no son resolubles por radicales, es decir, que no puede encontrarse una expresión algebraica que permita calcular sus raíces. Por tanto sólo sabemos cómo resolver unos pocos tipos de una infinidad de ecuaciones. Es necesario proceder a determinar soluciones aproximadas con una precisión deseada y para ello se utilizan métodos iterativos que a partir de un valor inicial se construye una sucesión de valores que converja a una solución.
En esta unidad se busca aprender los siguientes métodos iterativos para la resolución de ecuaciones:
a) Método de la bisección
b) Método de la Secante
c) Método de la Regula Falsi
d) Método de Newton
Dirigido a futuros maestros de educación básica y estudiantes de bachillerato y licenciatura para ayudarles a comprender la relación entre probabilidad teórica y probabilidad empírica.
Dirigido a futuros maestros de educación básica y estudiantes de bachillerato y licenciatura para ayudarles a comprender la importancia de las muestras al estudiar las características de una población, así como el cuidado que debe ponerse al seleccionar una muestra.
La estadística básica es muy útil para resumir información, especialmente en las medidas de tendencia central y variabilidad. Se utilizan en encuestas, indicadores económicos, predicciones económicas, tomas de decisión. Permiten presentar la información de una forma clara y fácil de interpretar.
En esta unidad se busca el logro de los siguientes objetivos.
• Distinguir entre variables cualitativas y cuantitativas.
• Calcular las medidas de tendencia central. Media, mediana y moda.
• Construir tablas de frecuencia.
• Construir gráficos de frecuencia.
A través de una conversación con un tutor digital y la observación y/o manipulación simultánea de modelos interactivos, el estudiante se familiarizará con algunos conceptos básicos de la termodinámica, como el calor, la temperatura, el equilibrio térmico y el concepto cero de la termodinámica.
A través de una conversación con un tutor digital y la observación y/o manipulación simultánea de modelos interactivos, el estudiante analizará, tanto a nivel macro como submicroscópico, el comportamiento de un gas que está siendo comprimido dentro de un cilindro con un émbolo. Esto le permitirá conocer y entender la ley general de los gases, y las leyes de Boyle y Gay-Lussac en particular.
A través de una conversación con un tutor digital y la observación y el análisis de modelos y ejemplos interactivos, el estudiante conocerá la primera ley de la termodinámica y sabrá reconocerla en fenómenos variados de la vida cotidiana.
A través de una conversación con un tutor digital y la observación y el análisis simultáneos de una máquina térmica, el estudiante revisará algunas leyes fundamentales de la termodinámica y de los gases ideales.
A través de una conversación con un tutor digital y la observación y/o manipulación simultánea de modelos y ejemplos interactivos, el estudiante conocerá y entenderá el concepto de entropía y la segunda ley de la termodinámica.
En esta unidad se introduce un conjunto de números que amplia al de los números reales, el de los números complejos. En este nuevo conjunto se pueden extender las operaciones conocidas en |R.
Los objetivos de esta unidad son: 1) Mostrar la necesidad de introducir un nuevo sistema de números.
2) Mostrar cómo se puede operar con los números complejos.
Se estudian las aplicaciones del plano que preservan el ángulo de intersección entre dos curvas, esto es, aquellas que transforman dos curvas que se cortan en un punto con un determinado ángulo en otras dos curvas que se cortan con el mismo ángulo.
Estas transformaciones se utilizan en problemas de física matemática gobernados por la ecuación de Laplace ya que permiten convertir un problema de contorno en el plano XY en uno más simple en el plano UV.