Definición y algunas propiedades de relaciones

Recordemos que una relación entre los elementos de dos conjuntos dados \(A\) y \(B\) va a ser simplemente un subconjunto del producto cartesiano \(A \times B\). Los conjuntos \(A\) y \(B\) son dos conjuntos arbitrarios. Es frecuente que los dos conjuntos coincidan, en cuyo caso simplemente decimos que \(R\) es una relación en \(A\).

En este caso podemos definir ciertas propiedades de las relaciones en el conjunto \(A\). Decimos que una relación \(A\) es:

1. Reflexiva si para todo elemento \(a \in A\) tenemos que \((a,a) \in A\).
2. Simétrica si para todo par \((a,b) \in A\) tenemos que \((b,a) \in A\).

3. Transitiva si para \((a,b) \in A\) y \((b,c) \in A\) tenemos que \((a,c) \in A\).

En general, una relación arbitraria en \(A\), i.e. la relación es un subconjunto de \(A \times A\), no tiene conjuntamente estas propiedades. Cuando una relación tiene estas tres propiedades, decimos que tenemos una relación de equivalencia.

Para contrastar, vamos a definir propiedades de una relación \(R\) en \(A\) que son opuestas a las que acabamos de definir.
Decimos que una relación \(R\) en \(A\) es:

1. Irreflexiva si para todo elemento \(a \in A\) tenemos que \((a,a) \notin A\).
2. Antisimétrica si dados \((a,b) \in A\) y \((b,a) \in A\) tenemos que \(a=b\) para todo \(a, b \in A\).

La relación idéntica

Una relación muy simple pero importante es la relación de identidad \( \Delta_A\), que consiste de la diagonal de \(A \times A\), i.e., todas las parejas \( (a, a)\) con \(a\) un elemento de \(A\).

Es fácil de ver que si componemos \( \Delta_A\) con \(R\), obtenemos que \(R \circ \Delta_A = R\) y \( \Delta_A \circ Q = Q\), donde \(Q\) es una relación en \(A \times A\).

La relación inversa

Dada una relación \(R\) en \(A\), podemos construir una nueva relación \(R^{-1}\) llamada la relación inversa de \(R\), definida como:
\(R^{-1} = \lbrace (b,a)|(a,b) \in R \rbrace \)

Podemos ahora expresar las propiedes reflexiva, simétrica, transitiva, irreflexiva y antisimétrica en términos de la identidad \( \Delta_A\), \(R\) y \(R^{-1}\):

1. Una relación \(R\) en \(A \times A\) es reflexiva, si y sólo si \(\Delta_A \subseteq R\.
2. Una relación \(R\) en \(A \times A\) es simétrica, si y sólo si \(R^{-1} = R\).
3. Una relación \(R\) en \(A \times A\) es transitiva, si y sólo si \(R \circ R \subseteq R\).
4. Una relación \(R\) en \(A \times A\) es irreflexiva, si y sólo si \(R\ \cap \Delta_A = \emptyset \).
5. Una relación \(R\) en \(A \times A\) es antisimétrica, si y sólo si \( R\ \cap R^{-1} \subseteq \Delta_A \).

En las siguientes escenas interactivas se presentará un método para hacer que relaciones que no son ni reflexivas ni simétricas ni transitivas tengan alguna de estas propiedades o dos de ellas o incluso las tres.