Las coordenadas esféricas nos dan la localización de puntos en el espacio por medio de dos ángulos y de una distancia, como se muestra en la figura. La primera coordenada, \( \rho= |\vec{OP}| \), es la distancia del punto \(P\) al origen, por lo que, al contrario de \(r \), \( \rho \) nunca es negativa. La segunda coordenada, \( \phi \), es el ángulo que \( |\vec{OP}| \) que hace con el \( eje-z \). Es necesario que esté en el intervalo \( [0, \pi ] \). La tercera coordenada es el ángulo \( \theta \) como se mide en las coordenadas cilíndricas, y está en el intervalo \( [0, 2\pi ] \).

En la figura de la izquierda se ilustra la relación de las coordenadas esféricas \( \rho \), \( \phi \) y \( \theta \) con \(x \), \(y \), \( z \) y \( r \). En la figura de la derecha se ilustran las superficies obtenidas al hacer una de las coordenadas constante: esferas, conos y medios planos.

Definición

Las coordenadas esféricas representan un punto \( P \) en el espacio con \( (\rho,\phi,\theta) \), donde

• \( \rho \) es la distancia de \( P \) al origen.
• \( \phi \) es el ángulo que \( |\vec{OP}| \) hace con el \( eje-z \) positivo (\( 0\leq \phi \leq \pi \) ).
• \( \theta \) es el mismo ángulo que en las coordenadas cilíndricas (\( 0\leq \theta \leq 2\pi \) ).

Los valores de \(x \), \(y \), \(r \) y \( \theta \) y las coordenadas cilíndricas están relacionadas por las ecuaciones \[r=\rho sen \phi, \ \ \ \ \ x=r cos \theta=\rho sen \phi cos \theta, \] \[z= \rho cos \phi, \ \ \ \ \ y=r sen \theta = \rho sen \phi sen \theta, \] \[\rho= \sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{r^2+z^2}\]