Objetivo

Obtener la integral indefinida de una función mediante integración por partes, donde se aplique una vez dicho método.

Antecedentes y conceptos básicos

Recuerda que la integral indefinida de una función $f$ es una función cuya derivada es $f$. Cuando $f$ puede describirse como $f=u·\frac{dv}{dx}$ y no es claro cuál es su integral indefinida, podemos intentar un método de integración: la integración por partes, que se basa en las siguientes consideraciones:

1. La derivada del producto de dos funciones es: $$\frac{d(u·v)}{dx}=\frac{du}{dx}·v+u·\frac{dv}{dx}$$ Despejando el segundo sumando: $$u·\frac{dv}{dx}=\frac{d(u·v)}{dx}-\frac{du}{dx}·v$$ De ahí que la integral indefinida del término de la izquierda sea igual a la diferencia de las integrales indefinidas de los términos de la derecha. Despejando el segundo sumando: $$\int{u·\frac{dv}{dx}dx}=\int{\frac{d(u·v)}{dx}dx}-\int{\frac{du}{dx}· vdx}$$
2. Además, por definición: $$\int{\frac{d(u·v)}{dx}dx}=u·v$$ En resumen: $$\int{u·\frac{dv}{dx}dx}=u·v-\int{\frac{du}{dx}·vdx}$$

Procedimiento

El método de integración por partes se utiliza para obtener la integral de funciones que se pueden describir como $u·\frac{dv}{dx}$, especialmente cuando resulta más fácil encontrar la integral de $\frac{du}{dx}·v$. El punto clave al aplicar este método es la selección de la funciones $u$ y $v$. Como en general ocurre en integración, lo mejor es ir ganando habilidad mediante ejemplos y ejercicios. Sin embargo, los siguientes consejos pueden ser útiles.

Elige $\frac{dv}{dx}$ y $u(x)$ de manera que:

1. Sea inmediato encontrar $v(x)=\int{\frac{dv}{dx}dx}$.
2. La nueva integral $\int{v\frac{du}{dx}}dx$ sea fácil de obtener.

Ejemplos

Con los pulsadores podrás ver paso a paso el procedimiento aplicado a los siguientes ejemplos.

Ejercicios

Créditos

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Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.

Autora: María de Lourdes Velasco Arregui

Editores académicos: José Luis Abreu León y Carlos Hernández Garciadiego

Editor técnico: Carlos Alberto Serrato Hernández

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Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.

Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán

Asesoría técnica: José Luis Abreu León, Oscar Escamilla González y Joel Espinosa Longi

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Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.

Adaptación: Juan José Rivaud Gallardo

Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi

Coordinación: Deyanira Monroy Zariñán

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Esta unidad ha sido revisada, adaptada y corregida en octubre de 2022 para ser publicada en la Web de RED Descartes dentro del subproyecto denominado Prometeo, manteniendo el mismo nombre que le dieron en la versión original, cuyos créditos se reflejan en este apartado.

Actualización: Ángel Cabezudo Bueno

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Actualización tecnológica y de estilo, así como mejoras en la presentación en dispositivos móviles. 2024.

Actualización: Joel Espinosa Longi

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