Objetivo

Obtener la derivada de la composición de funciones del tipo $f(x)=h(g(x))$, donde $h$ y $g$ son funciones trascendentes.

Conceptos básicos

Las funciones $(x^{2}+1)^{100}$, $cos(3x^{3}-2x)$, $3\;sen^{5}(x)+2$ o $e^{tg(x)+x}$ son algunos ejemplos de lo que llamamos composición de funciones. La composición $h \circ g$ de dos funciones es una función que evalúa $g(x)$ y al resultado de esta evaluación le aplica la función $h$. Así

En la siguiente escena puedes observar el significado geométrico de la composición. Mueve el control $x$ en la primera gráfica, la flecha roja muestra el valor $g(x)$, en la segunda gráfica se evalúa $h$ en $u=g(x)$ y en la tercera gráfica ese valor, $h(u)=h(g(x))$ se asocia con $x$. Con los pulsadores puedes cambiar las funciones $g$ y $h$.

La derivada de la composición $h(g(x))$ en el punto $x_{0}$ es el límite del cociente

$$\frac{h(g(x))-h(g(x_{0}))}{x-x_{0}} =\frac{Δ(h \circ g))}{Δ x}$$

cuando $x$ tiende a $x_{0}$. Si pulsas ver/cerrar en la escena anterior, podrás observar la relación de ese cociente con

$$\frac{Δ(h \circ g))}{∆g}=\frac{h(g(x))-h(g(x_{0}))}{g(x)-g(x_{0})}$$

y

$$\frac{∆g}{Δ x}= \frac{(g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}}$$

Si $Δ g=g(x)-g(x_{0})≠0$

$$\frac{Δ(h \circ g))}{Δ x}=\frac{Δ(h \circ g))}{∆g}·\frac{∆g}{∆x}$$

Entonces la derivada de la composición

$$\begin{aligned} \frac{d(h \circ g)}{dx}(x_{0}) &= \lim_{x \to x_{0}} \frac{Δ(h \circ g))}{Δ x} \\ &= \lim_{x \to x_{0}} \frac{Δ(h \circ g))}{∆g}·\lim_{x \to x_{0}} \frac{∆g}{Δx} \\ &= \lim_{x \to x_{0}} \frac{h(g(x))-h(g(x_{0}))}{g(x)-g(x_{0})}·\lim_{x \to x_{0}} \frac{g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}} \end{aligned}$$

y, como $u=g(x)→u_{0}=g(x_{0})$ cuando $x→x_{0}$,

$$\begin{aligned} &= \lim_{u \to u_{0}}\frac{h(u)-h(u_{0}))}{u-u_{0}}·\lim_{x \to x_{0}}\frac{g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}}\\ &= \frac{dh}{du}(u_{0})·\frac{dg}{dx}(x_{0})\\ &= \frac{dh}{du}(f(x_{0}))·\frac{dg}{dx}(x_{0}) \end{aligned}$$

En resumen, obtenemos la $Regla\space de\space la\space Cadena$

$$\frac{d(h \circ g)}{dx} x_{0} = \frac{dh}{du}(f(x_{0})).\frac{dg}{dx}(x_{0})$$

Nota: Cuando $g(x)$ es constante, $Δg=g(x)-g(x_{0})=c-c=0$, como no se puede dividir entre $0$, no podemos sustituir $\displaystyle\frac{Δ(h \circ g)}{Δx}$ por $\displaystyle\frac{Δ(h \circ g)}{Δg}$. $\displaystyle\frac{Δg}{Δx}$ para ninguna $x$. Pero, en ese caso, la composición $h \circ g(x)$ también es constante: $h(g(x))=h(c)$.

De ahi que

$$\frac{dh}{du}(f(x_{0}))·\frac{dg}{dx}(x_{0})=\frac{dh}{du}(f(x_{0}))·0=0$$

y

$$\frac{d(h \circ g)}{dx} (x_{0})=0$$

y que también sea válida la $Regla\space de\space la\space Cadena$.

Procedimiento

Así, para obtener la derivada de la composición de dos funciones $h(g(x))$ en un punto $x_{0}$:

1. Se determina quienes son las funciones $g$ y $h$.
2. Se obtiene la derivada $\displaystyle\frac{dh}{du}$ en el punto $u_{0}=g(x_{0})$.
3. Se obtiene la derivada $\displaystyle\frac{dg}{dx}$ en el punto $x_{0}$.
4. Se multiplican ambas para obtener $\displaystyle\frac{dh(g(x))}{dx}(x_{0})=\displaystyle\frac{dh}{du}(g(x_{0}))·\displaystyle\frac{dg}{dx}(x_{0})$.

Ejemplos

Si usas los pulsadores podrás ver paso a paso el procedimiento aplicado a ejemplos en los que tanto la función $h$ como la función $g$ son trascendentes.

Ejercicios

Créditos

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Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.

Autora: María de Lourdes Velasco Arregui

Editores académicos: José Luis Abreu León y Carlos Hernández Garciadiego

Editor técnico: Carlos Alberto Serrato Hernández

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Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.

Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán

Asesoría técnica: José Luis Abreu León, Oscar Escamilla González y Joel Espinosa Longi

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Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.

Adaptación: Juan José Rivaud Gallardo

Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi

Coordinación: Deyanira Monroy Zariñán

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Esta unidad ha sido revisada en junio de 2022 para ser publicada en la Web de RED Descartes dentro del subproyecto denominado Prometeo, manteniendo el mismo nombre que le dieron en la versión original, cuyos créditos se reflejan en este apartado.

Actualización: Ángel Cabezudo Bueno

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Actualización tecnológica y de estilo, así como mejoras en la presentación en dispositivos móviles. 2024.

Actualización: Joel Espinosa Longi

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