La circunferencia a partir de algunos de sus puntos
Ecuación de la circunferencia conocidos tres de sus puntos

Objetivo

Obtener la ecuación de una circunferencia que pasa por tres puntos conocidos.

Razonamiento

Con esta información debemos encontrar el centro y el radio para sustituirlos en la ecuación de la circunferencia.

Recordatorio

El centro de la circunferencia es el punto que equidista de los tres puntos dados. Dados dos puntos $A$ y $B$, los puntos $M$ equidistantes a ellos $dist(M,A)=dist(M,B)$ son los puntos que están en su mediatriz.

Mediatriz de dos puntos:

Procedimiento

  1. Si $P$, $Q$ y $R$ son los puntos conocidos, hay que encontrar la mediatriz de dos pares de ellos, por ejemplo, de $PQ$ y de $Q$R.

    Los puntos que están en la mediatriz de $P$ y $Q$, equidistan de $P$ y $Q$.

    Los puntos que están en la mediatriz de $Q$ y $R$, equidistan de $Q$ y $R$.

    Por lo que la intersección de estas dos mediatrices equidista de $P$, $Q$ y $R$ y es el centro de la circunferencia.

  2. La distancia del centro a cualquiera de los puntos dados es el radio.

Solución

Con los pulsadores del siguiente recuadro interactivo cambia los valores de las coordenadas de los tres puntos conocidos y observa cómo cambian el centro, el radio y las ecuaciones de la circunferencia.

Detalle

  1. Si $P(x_{1},y_{1})$, $Q(x_{2},y_{2})$ y $R(x_{3},y_{3})$ son los puntos dados, la mediatriz de $P$ y $Q$ es el conjunto de puntos $M(x,y)$ que satisface:

    $$d(P,M)=d(Q,M)$$

    es decir:

    $$\sqrt{(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}}=\sqrt{(x-x_{2})^{2}+(y-y_{2})^{2}}$$

    elevando al cuadrado ambos miembros, se eliminan los radicales:

    $$(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}=(x-x_{2})^{2}+(y-y_{2})^{2}$$

    Ahora se desarrollan los binomios al cuadrado y se simplifica, el resultado es una ecuación de primer grado:

    $$\tag{1} A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0$$

    que es la ecuación de la mediatriz de $P$ y $Q$.

    De manera similar, se obtiene la ecuación de la mediatriz de $Q$ y $R$:

    $$\tag{2}A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0$$

    Se resuelve el sistema $(1)$ y $(2)$ simultáneamente y se obtiene el centro $C(h,k)$

  2. Se usa la fórmula de la distancia entre dos puntos para encontrar el radio, por ejemplo entre $P(x_1,y_1)$ y $C(h,k)$:
    $$r=\sqrt{(x_{1}-h)^{2}+(y_{1}-k)^{2}}$$

Ejemplos

En el siguiente recuadro observa cómo se determina la ecuación de la circunferencia cuando se conocen tres de sus puntos. Presiona el pulsador que se sitúa en el extremo inferior izquierdo del ejemplo propuesto y avanza en la solución, tratando de comprender cada uno de los pasos. Analiza otros ejemplos al dar clic en el botón ubicado en el extremo inferior derecho del cuadro. Si tienes dificultad para visualizar los tres puntos, puedes acercar o alejar la imagen con el pulsador que se sitúa en el extremo inferior derecho de la gráfica.

Ejercicios

Determina lo que se te pida en cada caso. Escribe el resultado sobre los campos de texto del cuadro y a continuación presiona Intro. Si tu respuesta es correcta, se inhabilitará el campo de texto; en caso contrario, inténtalo de nuevo. Al terminar se desplegará el botón que te permitirá acceder a otro ejercicio.

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Los componentes interactivos fueron creados con DescartesJS que es un producto de código abierto.

Créditos

Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.

Autores: Carlos Hernández Garciadiego, Eréndira Itzel García Islas

Edición académica: Carlos Hernández Garciadiego y Fernando René Martínez Ortiz

Edición técnica: Norma Patricia Apodaca Alvarez y Fernando René Martínez Ortiz

Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.

Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán

Asesoría técnica: José Luis Abreu León, Oscar Escamilla González y Joel Espinosa Longi

Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.

Adaptación: Octavio Fonseca Ramos

Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi

Coordinación: Deyanira Monroy Zariñán

Esta unidad ha sido revisada, adaptada y corregida en marzo de 2021 para ser publicada en la Web de RED Descartes dentro del subproyecto denominado Prometeo, manteniendo el mismo nombre que le dieron en la versión original, cuyos créditos se reflejan en este apartado.

Actualización: Ángel Cabezudo Bueno

Actualización tecnológica y de estilo, así como mejoras en la presentación en dispositivos móviles. 2024.

Actualización: Joel Espinosa Longi