Objetivo

Identificar la gráfica de funciones logarítmicas del tipo $f(x)=c\;ln\;x$.

Procedimiento

Ejemplos

1. Si la gráfica de una función logarítmica pasa por el punto $(1,0)$ y por el $(e,1)$, ¿cuál es la expresión que le corresponde?

   Respuesta: Para que, en efecto, se trate de una función logarítmica, ésta tiene que pasar por el punto $(1,0)$, lo cual se cumple.

   Sabemos que pasa por el $(e,1)$. Entonces

   $$c\;ln(e)=1$$

   despejamos $c$

   $$c=\frac{1}{ln(e)}=\frac{1}{1}=1$$

   Por lo que su constante es $1$ y la función que buscamos es:

   $$f(x)=ln\;x$$

2. Si la gráfica de una función logarítmica pasa por el punto $(1,0)$ y por el $(3,2)$, ¿cuál es la expresión que le corresponde?

   Respuesta: Para que, en efecto, se trate de una función logarítmica, ésta tiene que pasar por el punto $(1,0)$, lo cual se cumple.

   Sabemos que pasa por el $(3,2)$, por lo que:

   $$c\;ln(3)=2$$

   despejamos $c$

   $$c=\frac{2}{ln(3)}$$

   Así que la función que buscamos es:

   $$f(x)=\frac{2}{ln(3)}ln(x)=2\frac{ln(x)}{ln(3)}$$

   Si recuerdas las funciones logarítmicas en otras bases, esto último se puede escribir como

   $$f(x)=2 log_{3}x$$

Nota:

Sea $y=log_3 (x)$ que implica $x=3^y$. Tomando logaritmos naturales en ambos miembros $ln (x) = y ln (3)$, de donde $y=\displaystyle \frac {ln (x)}{ln (3)}$ y en consecuencia $log_3 (x) = \displaystyle \frac {ln (x)}{ln (3)}$

En general se cumple para cualquier base que $log_a (x) = \displaystyle \frac {ln (x)}{ln (a)}$

3. Observa la siguiente gráfica:

Ejercicios

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