Identificar la correcta aplicación de las propiedades de los logaritmos (de un producto, de un cociente, de una potencia y de una raíz).
Recordemos que el logaritmo de un número $x$, es el exponente ($n$) al que hay que elevar la base dada ($b$), para que nos dé dicho número ($x$).
$log_{b}x=n$ entonces $x=b^{n}$
¿Cuánto vale $log_{3}81$? Si $3^{x}=81$, entonces $x=4$, ya que $3^{4}=3x3x3x3=9x9=81$. Por lo tanto $log_{3}81=4$.
Con esto podemos ver que el logaritmo es la función inversa de la función exponencial.
Observa la siguiente expresión:
Si $log_{a}(xy)=n$ entonces $a^{n}=xy$
Podemos expresar el logaritmo de $x$ y de $y$ por separado de la siguiente forma:
$log_{a}x=n_{0}$, $log_{a}y=n_{1}$ entonces $a^{n_0}=x$, $a^{n_1}=y$
De las dos conclusiones anteriores podemos deducir lo siguiente:
$a^{n}=xy=a^{n_0}a^{n_1}=a^{n_0+n_1}$
por lo tanto:
$n=n_{0}+n_{1}$ que es lo mismo que $log_{a}(xy)=log_{a}x+log_{a}y$
Propiedad del producto: El logaritmo de un producto ($log_{a}(xy)$) es igual a la suma de los logaritmos de los factores ($log_{a}x+log_{a}y$).
Observa la siguiente expresión:
Si $log_{a}(\frac{x}{y})=n$ entonces $a^{n}=\frac{x}{y}$
Podemos expresar el logaritmo de $x$ y de $y$ por separado de la siguiente forma:
$log_{a}x=n_{0}$, $log_{a}y=n_{1}$ entonces $a^{n_0}=x$, $a^{n_1} = y$
De las dos expresiones anteriores podemos deducir lo siguiente:
$a^{n}=\frac{x}{y}=\frac{a^{n}}{a^{n}}=a^{n_0-n_1}$
por lo tanto:
$n=n_{0}-n_{1}$ que es lo mismo que $log_{a}(\frac{x}{y})=log_{a}x-log_{a}y$
Propiedad del cociente: El logaritmo de un cociente ($log_{a}(\frac{x}{y})$) es igual a la resta del logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador ($log_{a}x-log_{a}y$).
Observa la siguiente expresión:
Si $log_{a}(x^{y})=n$ entonces $a^{n}=x^{y}$
Podemos expresar el logaritmo de $x$ por separado de la siguiente forma:
$log_{a}x=n_{0}$ entonces $a^{n_0}=x$
De las dos expresiones anteriores podemos deducir lo siguiente:
$a^{n}=x^{y}=(a^{n_0})^{y}=a^{y n_0}$
por lo tanto:
$n = y n_{0}$ que es lo mismo que $log_{a}(x^{y})=y log_{a}x$
Propiedad de la potencia: El logaritmo de un valor elevado a una potencia ($log_{a}(x^{y})$) es igual al producto de la potencia por el logaritmo del valor ($y log_{a}x$).
Observa la siguiente expresión:
Si $log_{a}(\sqrt{x})=n$ entonces $a^{n}=\sqrt{x}$
como $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$ entonces tenemos que $log_{a}(\sqrt{x})=log_{a}x^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}log_{a}x$.
Propiedad de la raíz: El logaritmo de la raíz de un valor ($log_{a}(\sqrt[ ]{x})$) es igual a la mitad del logaritmo del valor dado ($\frac{1}{2} log_{a}x$).
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Los componentes interactivos fueron creados con DescartesJS que es un producto de código abierto.
Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.
Autor: Claudio Francisco Nebbia Rubio
Edición académica: Carlos Hernández Garciadiego y Octavio Fonseca Ramos
Edición técnica: Norma Patricia Apodaca Alvarez
Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.
Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán
Asesoría técnica: José Luis Abreu León, Oscar Escamilla González y Joel Espinosa Longi
Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.
Adaptación: Joel Espinosa Longi
Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi
Coordinación: Deyanira Monroy Zariñán
Actualización tecnológica y de estilo, así como mejoras en la presentación en dispositivos móviles. 2024.
Actualización: Joel Espinosa Longi