Funciones exponenciales
Dominio y rango de las funciones exponenciales del tipo $c(\frac{1}{a})^{x}$

Objetivo

Determinar dominio y rango de funciones exponenciales del tipo $f(x)=c(\frac{1}{a})^{x}$ con $a>1$ y $c≠0$.

Antecedentes

Recordemos que una expresión como $(\frac{1}{2})^{4}$, nos indica que hay que multiplicar el número de la base (en este caso $\frac{1}{2}$) tantas veces como indica el exponente (en este caso $4$).

$$\Big(\frac{1}{2}\Big)^{4}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{2×2×2×2}=\frac{1}{2^{4}}$$

Las expresiones con exponentes negativos, como $(\frac{1}{2})^{-4}$, son equivalentes al inverso multiplicativo de la misma expresión con exponente positivo, por ejemplo $(\frac{1}{2})^{-4}=2^{4}$.

Procedimiento

Observa la siguiente tabla. En el primer renglón se muestra la operación que eleva la base (de la forma $\frac{1}{a}$) al exponente indicado, y en el segundo renglón se muestra el resultado de dicha operación. Modifica el valor del denominador de la base y observa cómo son los resultados:

Comparas este resultado con el obtenido al elevar una base mayor que $1$ en lugar de $\frac{1}{3}$.

Como $a^{x}·a^{-x}=a^{0}=1$, tienes que $a^{-x}=(\frac{1}{a})^{x}$, es decir que la gráfica de $(\frac{1}{a})^{x}$ es igual a la de $a^{-x}$. Pero la gráfica de $a^{-x}$ es igual que la de $a^{x}$ reflejada en el eje $Y$.

A continuación se muestra la gráfica de la función $f(x)=(\frac{1}{b})^{x}$, donde $b$ es el denominador de la base en la función exponencial. Modifica los valores de $b$ y observa cómo es la gráfica correspondiente.

Como puedes observar, la función toma valores entre $0$ y $1$ cuando la $x$ es positiva, y toma valores mayores que $1$ cuando la $x$ es negativa.

De lo anterior se deduce que el rango de la función son los reales mayores que $0$.

Ejercicios


Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.

Autor: Claudio Francisco Nebbia Rubio

Edición académica: José Luis Abreu León, Fernando René Martínez Ortiz y Joel Espinosa Longi

Edición técnica: Norma Patricia Apodaca Alvarez


Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.

Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán

Asesoría técnica: José Luis Abreu León, Oscar Escamilla González y Joel Espinosa Longi


Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.

Adaptación: Joel Espinosa Longi

Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi

Coordinación: Deyanira Monroy Zariñán


Actualización tecnológica y de estilo, 2019.

Actualización: Joel Espinosa Longi


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