Funciones trigonométricas
Análisis de la función $f(x)=a·sen(bx+c)+d$

Objetivo

Determinar el periodo en la función $f(x)=a·sen(bx+c)+d$.

Procedimiento

El periodo de la función $f(x)=a·sen(bx+c)+d$ sólo depende del valor de $b$. Utiliza el siguiente recuadro interactivo y observa que al cambiar los valores de $a$, $c$ o $d$, el periodo de la función no cambia siempre y cuando el valor de $b$ permanezca fijo. Para cambiar el valor de $b$ pulsa el botón Otro ejemplo.

Solución

Recuerda que para una función periódica $f$ de periodo $p$ se tiene que $f(x)=f(x+p)$ para todo valor de $x$. Si multiplicas ambos lados de la igualdad por algún número $a$ y les sumas otro número $d$, obtienes $a·f(x)+d=a·f(x+p)+d$ que sigue siendo periódica y del mismo periodo $p$. De manera que la función $f(x)=a·sen(bx+c)+d$ tiene el mismo periodo que la función $g(x)=sen(bx+c)$.

Por otro lado, al ser $f$ periódica con periodo $p$, $f(u)=f(u+p)$ para cualquier valor de $u$. Tomando $u=x+c$ donde $c$ es una constante, tenemos que la función $g(x)=f(x+c)$ también es periódica y con $p$ como periodo. Así, la función $f(x)=a·sen(bx+c)+d$ tiene el mismo periodo que $f(x)=sen(bx)$.

Ya que $h(x)=bx$ es lineal, se obtiene el periodo de $f(x)=sen(bx)$ tomando el valor absoluto de la diferencia entre los valores de $x$ que, al aplicarles $h$, dan como resultado $0$ y $2π$, es decir $x=0$ y $x=\frac{2π}{b}$. Así, el periodo de la función $f(x)=a·sen(bx+c)+d$ es $|\frac{2π}{b}-0|=\frac{2π}{|b|}$.

Para que puedas variar el valor de $b$ en el recuadro interactivo anterior oprime y regresa al recuadro.

Ejercicios

Encuentra el periodo de las siguientes funciones.


Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.

Autor: Fernando René Martínez Ortiz

Edición académica: José Luis Abreu León, Fernando René Martínez Ortiz y Joel Espinosa Longi

Edición técnica: Norma Patricia Apodaca Alvarez


Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.

Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán

Asesoría técnica: José Luis Abreu León, Oscar Escamilla González y Joel Espinosa Longi


Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.

Adaptación: Joel Espinosa Longi

Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi

Coordinación: Deyanira Monroy Zariñán


Actualización tecnológica y de estilo, 2019.

Actualización: Joel Espinosa Longi


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Los componentes interactivos fueron creados con Descartes que es un producto de código abierto.