Objetivo

Determinar la amplitud en la función $f(x)=a·sen(bx+c)+d$.

Procedimiento

En este tipo de funciones, la amplitud sólo depende, en este caso, del valor de a ya que $-1≤sen(x)≤1$ para cualquier valor de $x$, así tenemos que $-1≤sen(bx+c)≤1$ donde siempre es posible alcanzar los valores máximo y mínimo, $1$ y $-1$. Si $a≥0$ entonces, al multiplicar la desigualdad anterior por $a$ y sumar $d$, se tiene que

$$-a+d≤a·sen(bx+c)+d≤a+d$$

y la amplitud $A$ es la mitad de la diferencia entre los valores máximo y mínimo de la función, es decir:

$$A=\frac{(a+d)-(-a+d)}{2}=\frac{2a}{2}=a$$

En el caso en que $a < 0$, al multiplicar la desigualdad $-1≤sen(bx+c)≤1$ por $a$ y sumar $d$, se tiene:

$$-a+d≥a·sen(bx+c)+d≥a+d$$

Nuevamente, al tomar la diferencia entre los valores máximo y mínimo de la función se obtiene que:

$$A=\frac{(-a+d)-(a+d)}{2}=\frac{-2a}{2}=-a$$

Se pueden conjuntar ambos casos en una sola fórmula usando el valor absoluto, de tal manera que la amplitud A de la función $f(x)=a·sen(bx+c)+d$ es:

$$A=|a|$$

Solución

En el siguiente recuadro interactivo aparecen las gráficas de diversas funciones del tipo:

$$f(x)=a·sen(bx+c)+d$$

En éstas puedes cambiar los valores de $b$, $c$ y $d$ mientras que el valor de a permanecerá fijo a menos que oprimas el botón Otro ejemplo. Con el valor de $a$ fijo, observa que todas las funciones que puedes generar tienen siempre la misma amplitud $|a|$.

Para que puedas variar el valor de $a$ en el recuadro interactivo anterior oprime el botón Otro ejemplo

Ejercicios

Encuentra la amplitud de las siguientes funciones.

Créditos

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Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.

Autor: Fernando René Martínez Ortiz

Edición académica: José Luis Abreu León, Fernando René Martínez Ortiz y Joel Espinosa Longi

Edición técnica: Norma Patricia Apodaca Alvarez

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Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.

Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán

Asesoría técnica: José Luis Abreu León, Oscar Escamilla González y Joel Espinosa Longi

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Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.

Adaptación: Joel Espinosa Longi

Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi

Coordinación: Deyanira Monroy Zariñán

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Esta unidad ha sido revisada, adaptada y corregida en marzo de 2022 para ser publicada en la Web de RED Descartes dentro del subproyecto denominado Prometeo, corrigiendo el nombre que le dieron en la versión original, cuyos créditos se reflejan en este apartado.

Actualización: Ángel Cabezudo Bueno

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Actualización tecnológica y de estilo, así como mejoras en la presentación en dispositivos móviles. 2024.

Actualización: Joel Espinosa Longi

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