Objetivo
Obtener cualquiera de los elementos (vértice, foco, directriz, lado recto, eje focal o concavidad) de una parábola a partir de su ecuación ordinaria.
Recordatorio
Si en la ecuación el término al cuadrado contiene a $y$, la parábola es horizontal y su vértice es el punto $V(h,k)$:
$$\tag{1} (y-k)^{2}=A(x-h)$$Si en la ecuación el término al cuadrado contiene a $x$, la parábola es vertical y su vértice es el punto $V(h,k)$:
$$\tag{2} (x-h)^{2 }=A(y-k)$$El número $p=\displaystyle \frac{|A|}{4}$ es la distancia del vértice al foco y se denomina parámetro.
El eje focal de la parábola es la recta que une al vértice y al foco.
La directriz es la recta perpendicular al eje focal que está a una distancia $p$ del vértice, del lado opuesto al foco.
El lado recto es el segmento de recta comprendido en la parábola, paralelo a la directriz, que pasa por el foco. Su longitud es $4p$.
Solución
Caso 1: Ecuación de la forma $(y-k)^{2}=A(x-h)$
La parábola horizontal
En general, si la parábola es horizontal, el signo del coeficiente $A$ determina hacia dónde abre la parábola:
- Si $A > 0$, abre hacia la derecha.
- Si $A < 0$, abre hacia la izquierda.
Si $A > 0$, entonces el foco está a $p$ unidades a la derecha del vértice, y si $A < 0$, entonces el foco está a $p$ unidades a la izquierda del vértice.
El vértice y el foco están en la misma recta horizontal, que es el eje focal. En este caso, es la recta $y = k$.
La directriz es la recta vertical que está a una distancia $p$ del vértice, del lado opuesto al foco. El lado recto es el segmento vertical de longitud $4p$ que pasa por el foco. La parábola pasa por sus extremos.
Caso 2: Ecuación de la forma $(x-h)^{2}=A(y-k)$
La parábola vertical
En general, si la parábola es vertical, el signo del coeficiente $A$ determina hacia dónde abre la parábola:
- Si $A > 0$, abre hacia arriba.
- Si $A < 0$, abre hacia abajo.
Si $A > 0$, entonces el foco está a p unidades arriba del vértice, y si $A < 0$, entonces el foco está a $p$ unidades abajo del vértice.
El vértice y el foco están en la misma recta vertical, que es el eje focal. En este caso, es la recta $x=h$.
La directriz es una recta horizontal que está a una distancia $p$ del vértice, del lado opuesto al foco. El lado recto es el segmento horizontal de longitud $4p$ que pasa por el foco. La parábola pasa por sus extremos.
Ejemplos
Ejercicios
Escribe el resultado en los campos de texto del cuadro. Recuerda que al hacer clic sobre un campo de texto se despliega la calculadora que te permite escribir el resultado y finalmente presiona Intro. Si tu respuesta es correcta, se inhabilitará el campo de texto; en caso contrario, deberás reintentarlo. Al terminar se desplegará un botón que te permitirá acceder a otro ejercicio.
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Créditos
Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.
Autores: Carlos Hernández Garciadiego, Eréndira Itzel García Islas
Edición académica: Fernando René Martínez Ortiz
Edición técnica: Jose Luis Abreu León, Norma Patricia Apodaca Alvarez y Fernando René Martínez Ortíz
Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.
Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán
Asesoría técnica: José Luis Abreu León, Oscar Escamilla González y Joel Espinosa Longi
Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.
Adaptación: Juan José Rivaud Gallardo
Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi
Coordinación: Deyanira Monroy Zariñán
Esta unidad ha sido revisada, adaptada y corregida en diciembre de 2021 para ser publicada en la Web de RED Descartes dentro del subproyecto denominado Prometeo, manteniendo el mismo nombre que le dieron en la versión original, cuyos créditos se reflejan en este apartado.
Actualización: Ángel Cabezudo Bueno
Actualización tecnológica y de estilo, así como mejoras en la presentación en dispositivos móviles. 2024.
Actualización: Joel Espinosa Longi