Objetivo
Obtener la ecuación general de una circunferencia con centro en $(h,k)$ y radio $r$.
Recordatorio
La ecuación ordinaria o estándar de una circunferencia con centro en un punto $(h,k)$ y radio $r$ es:
$$\tag{1} (x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$$La ecuación general de todas las cónicas es:
$$\tag{2} Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$$Solución
En la siguiente escena, cambia el valor de $(h,k)$ y de $r$ para observar cómo se comporta la circunferencia y cómo se modifican sus ecuaciones.
Razonamiento
Para obtener la ecuación general de la circunferencia, primero hay que encontrar la ecuación ordinaria (1) y luego desarrollar los binomios al cuadrado y simplificar hasta obtener una ecuación de la forma (2).
Detalle
Se sustituyen las coordenadas del centro y el radio en la ecuación (1):
$$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$$Se desarrollan los binomios al cuadrado:
$$x^{2}-2hx+h^{2}+y^{2}-2ky+k^{2}=r^{2}$$Se pasan todos los términos de lado izquierdo y se simplifica:
$$x^{2}-2hx+h^{2}+y^{2}-2ky+k^{2}-r^{2}=0$$ $$x^{2}+y^{2}-2hx-2ky+(h^{2}+k^{2}-r^{2})=0$$La ecuación general de la circunferencia con centro un punto $(h,k)$ y radio $r$ es:
$$x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0$$donde $D=-2h$, $E=-2k$, $F=h^{2}+k^{2}-r^{2}$, en este caso, $A=1$, $B=0$, $C=1$.
Ejemplos
En el siguiente recuadro interactivo, observa cómo se determina la ecuación general de la circunferencia con centro en $(h,k)$ y radio conocido. Presiona el pulsador que se sitúa debajo del ejercicio propuesto y avanza en la solución tratando de comprender cada uno de los pasos. Analiza otros ejemplos al dar clic sobre el botón que se ubica en el extremo inferior derecho del cuadro.
Ejercicios
Escribe el resultado en los campos de texto del cuadro y a continuación presiona Intro. Si tu respuesta es correcta, se inhabilitará el campo de texto; en caso contrario, inténtalo nuevamente. Al terminar aparecerá el botón que te permitirá acceder a otro ejercicio.
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Créditos
Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.
Autores: Carlos Hernández Garciadiego, Eréndira Itzel García Islas
Edición académica: Carlos Hernández Garciadiego y Fernando René Martínez Ortíz
Edición técnica: Norma Patricia Apodaca Alvarez y Fernando René Martínez Ortiz
Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.
Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán
Asesoría técnica: José Luis Abreu León, Oscar Escamilla González y Joel Espinosa Longi
Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.
Adaptación: Octavio Fonseca Ramos
Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi
Coordinación: Deyanira Monroy Zariñán
Esta unidad ha sido revisada, adaptada y corregida en marzo de 2021 para ser publicada en la Web de RED Descartes dentro del subproyecto denominado Prometeo, manteniendo el mismo nombre que le dieron en la versión original, cuyos créditos se reflejan en este apartado.
Actualización: Ángel Cabezudo Bueno
Actualización tecnológica y de estilo, así como mejoras en la presentación en dispositivos móviles. 2024.
Actualización: Joel Espinosa Longi