Sistemas de dos ecuaciones una lineal y otra cuadrática
Significado gráfico de la solución

Objetivo

Interpretar gráficamente la solución de sistemas de dos ecuaciones con dos variables, una lineal y otra cuadrática.

Procedimiento

Un sistema de ecuaciones con una ecuación lineal y otra cuadrática tiene la forma:

$$\begin{aligned} g x + h y + r &= 0 \\ a x^{2} + b x y + c y^{2} + d x + e y + f &= 0 \end{aligned}$$

y su solución representa la intersección entre la ecuación lineal correspondiente a una recta y la ecuación cuadrática correspondiente a una cónica. En esta lección, trataremos el caso, cuando $b = c = 0$, es decir, representaremos gráficamente el sistema:

$$\tag{1} g x + h y + r = 0$$ $$\tag{2} a x^{2} + d x + e y + f = 0$$

Análisis

Si en la ecuación (2), $a = 0$, entonces tenemos un sistema de ecuaciones lineales de $2 × 2$, el cual ha sido tratado en otras lecciones, por lo tanto, descartaremos ese caso y supondremos que $a ≠ 0$. Supondremos también que en la ecuación (1) $g$ y $h$ no son cero.

Sabemos por la lección anterior que al despejar $y$ de la ecuación (1) y sustituyendo la expresión resultante en la ecuación (2), queda:

$$\tag{3} y = \frac{-r - g x}{h}$$ $$\tag{4} a x^{2} + d x + e \Big(\frac{-r - g x}{h}\Big) + f = 0$$

De tal manera que al realizar operaciones, queda una ecuación de la forma:

$$\tag{5} A x^{2} + B x +C = 0$$

donde: $A =a h$, $B = d h -e g $ y $C = f h - e r $.

Al resolver (5) y si suponemos que $A≠0 $ se puede tener:

  1. Ninguna raíz real, en el caso en que: $B^{2} - 4 A C < 0$ El sistema no tiene solución
  2. Una raíz real, en el caso en que: $B^{2} - 4 A C = 0$ El sistema tiene una sola solución
  3. Dos raíces reales, en el caso en que: $B^{2} - 4 A C > 0$ El sistema tiene dos soluciones

Gráficamente, la ecuación lineal representa una recta y la cuadrática una parábola. Por tanto, los tres casos corresponden a las siguientes situaciones gráficas:

  1. La recta y la parábola no se intersectan.
  2. La recta interseca en un solo punto a la parábola.
  3. La recta interseca en dos puntos a la parábola.

Solución

Interpreta gráficamente el sistema:

Ejercicios

Grafica el siguiente sistema en tu cuaderno y comprueba tu respuesta pulsando el botón de Verificar.


Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.

Autores: Héctor de Jesús Argueta Villamar y María Juana Linares Altamirano

Edición académica: José Luis Abreu León, Fernando René Martínez Ortiz y Joel Espinosa Longi

Edición técnica: Norma Patricia Apodaca Alvarez


Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.

Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán

Asesoría técnica: José Luis Abreu León, Oscar Escamilla González y Joel Espinosa Longi


Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.

Adaptación: Juan José Rivaud Gallardo

Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi

Coordinación: Deyanira Monroy Zariñán


Actualización tecnológica y de estilo, 2019.

Actualización: Joel Espinosa Longi


Los contenidos de esta unidad didáctica interactiva están bajo una licencia Creative Commons, si no se indica lo contrario.

Los componentes interactivos fueron creados con Descartes que es un producto de código abierto.