Objetivo

Factorizar una diferencia de cubos.

Procedimiento

La diferencia de dos cubos se descompone en dos factores: el primero es la diferencia de los números y el segundo es la suma del cuadrado del primero más el producto de ambos más el cuadrado del segundo. Es decir:

$$a^{3}-b^{3} =(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$$

Solución

La diferencia de dos cubos puede visualizarse de la siguiente manera: supongamos que $a ≥ b$, entonces al cubo de arista $a$ le sustraemos un cubo de arista $b$. El cuerpo restante puede descomponerse en tres paralelepípedos cuyos volúmenes son $a^{2}(a-b)$, $ab(a-b)$ y $b^{2}(a-b)$. Por tanto, al sumar estos volúmenes obtenemos:

$$a^{3}-b^{3}=a^{2}(a-b)+ab(a-b)+b^{2}(a-b)$$

y sacando $(a - b)$ como factor común, llegamos a la identidad:

$$a^{3}-b^{3} =(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$$

El siguiente recuadro interactivo nos permite visualizar la partición del cubo de lado $a$, en el cubo de lado $b$ más los tres paralelepípedos con volúmenes $a^{2}(a-b)$ , $ab(a-b)$ y $b^{2}(a-b)$.

Agrupando términos, podemos ver el segundo miembro de la fórmula como:

$$a^{2}(a-b)+ab(a-b)+b^{2}(a-b)=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$$

Usando esto podemos concluir que se cumple la igualdad $a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$.

Ejercicios

En el primero escribe dentro de los espacios los números que factorizan la siguiente diferencia de cubos. Presiona ↵ al terminar de escribir cada valor.

Escribe dentro de los espacios en blanco los exponentes que necesitan las variables de la siguiente expresión, para que el producto de lado derecho sea la factorización de la expresión como una diferencia de cubos. Presiona ↵ al terminar de escribir cada valor.