Objetivo

Factorizar una diferencia de cubos.

Procedimiento

La diferencia de dos cubos se descompone en dos factores: el primero es la diferencia de los números y el segundo es la suma del cuadrado del primero más el producto de ambos más el cuadrado del segundo. Es decir:

$$a^{3}-b^{3} =(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$$

Solución

La diferencia de dos cubos puede visualizarse de la siguiente manera: supongamos que $a ≥ b$, entonces al cubo de arista $a$ le sustraemos un cubo de arista $b$. El cuerpo restante puede descomponerse en tres paralelepípedos cuyos volúmenes son $a^{2}(a-b)$, $ab(a-b)$ y $b^{2}(a-b)$. Por tanto, al sumar estos volúmenes obtenemos:

$$a^{3}-b^{3}=a^{2}(a-b)+ab(a-b)+b^{2}(a-b)$$

y sacando $(a - b)$ como factor común, llegamos a la identidad:

$$a^{3}-b^{3} =(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$$

El siguiente recuadro interactivo nos permite visualizar la partición del cubo de lado $a$, en el cubo de lado $b$ más los tres paralelepípedos con volúmenes $a^{2}(a-b)$ , $ab(a-b)$ y $b^{2}(a-b)$.

Agrupando términos, podemos ver el segundo miembro de la fórmula como:

$$a^{2}(a-b)+ab(a-b)+b^{2}(a-b)=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$$

Usando esto podemos concluir que se cumple la igualdad $a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$.

Ejercicios

Escribe dentro de los espacios en blanco los valores que necesitan las variables de las siguiente expresiones, para que el producto del lado derecho sea la factorización de la expresión como una diferencia de cubos. Presiona ↵ al terminar de escribir cada valor. Para obtener un valor a través de un cálculo:

Se escribe la expresión correspondiente, p.e. $2$x$5$, $3$^$2$ ó $sqrt(36)$
Se pulsa Val para igualar al valor, p.e. $2$x$5=10$, $3$^$2=9$ ó $sqrt(36)=6$
Se pulsa ⤺ para que quede sólo el valor, p.e. $10$, $9$ ó $6$
Se pulsa ↵ para terminar.

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Los componentes interactivos fueron creados con DescartesJS que es un producto de código abierto.

Créditos

Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.

Autor:Gabriel Gutiérrez García

Edición académica: José Luis Abreu León

Edición técnica: Norma Patricia Apodaca Alvarez

Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.

Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán

Asesoría técnica: José Luis Abreu León, Oscar Escamilla González y Joel Espinosa Longi

Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.

Adaptación: Juan José Rivaud Gallardo

Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi

Coordinación: Deyanira Monroy Zariñán

Esta unidad ha sido revisada, corregida y actualizada en enero de 2021 para ser publicada en la Web de RED Descartes dentro del subproyecto denominado Prometeo, manteniendo el mismo nombre que le dieron en la versión original, cuyos créditos se reflejan en este apartado.

Actualización: Ángel Cabezudo Bueno

Actualización tecnológica y de estilo, así como mejoras en la presentación en dispositivos móviles. 2024.

Actualización: Joel Espinosa Longi