Objetivo

Resolver ecuaciones lineales del tipo $\frac{x + a}{x + b} = \frac{x + c}{x + d}$ con $a$, $b$, $c$ y $d$ enteros.

Solución

Resolver ecuaciones lineales del tipo $\frac{x + a}{x + b} = \frac{x + c}{x + d}$ con $a$, $b$, $c$ y $d$ enteros, donde $x + b$ y $x + d$ deben ser distintos de cero, significa despejar la incógnita $x$. En cualquier solución se deben descartar los valores de $x = -b$ y $x = -d$.

Analiza el siguiente procedimiento paso a paso para encontrar el o los valores de $x$. Al terminar verás un gráfico que corresponde al significado geométrico de la solución.

Ejercicio

Resuelve la siguiente ecuación en tu cuaderno y verifica tu resultado de dos maneras. Primero escribe el resultado en el espacio y pulsa ↵. El programa te dirá si es correcto o no. En caso de que sea incorrecto, verifica tu procedimiento sustituyendo los valores de $a$, $b$, $c$ y $d$ en las casillas del apartado Solución y comprueba cada uno de tus pasos.

Idea gráfica

• Por un lado $y = (a+d) x + a·d$ es la ecuación de una recta con pendiente $(a+d)$ y ordenada al origen igual a $a·d$.
• Por otro lado $y = (b+c)x + b·c$ es la ecuación de una recta con pendiente $(b+c)$ y ordenada al origen igual a $b·c$.
• Resolver la ecuación significa encontrar el valor o los valores de $x$, para los cuales se cumple que $(a+d) x + a·d = (b+c)x + b·c$. Es decir, encontrar el o los puntos de coincidencia de las rectas.

Casos especiales

• Si las rectas $y = (a+d) x + a·d$ y $y = (b+c)x + b·c$ son la misma, entonces cualquier número $x$ es solución de la ecuación.
• Si las rectas $y = (a+d) x + a·d$ y $y = (b+c)x + b·c$ son paralelas, pero no la misma, entonces la ecuación no tiene solución.
• Si las rectas $y = (a+d) x + a·d$ y $y = (b+c)x + b·c$ no son paralelas, entonces se intersecan en un sólo punto. En este caso, la ecuación tiene solución única.

Créditos

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Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.

Autora: María Juana Linares Altamirano

Edición académica: José Luis Abreu León

Edición técnica: Norma Patricia Apodaca Alvarez

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Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.

Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán

Asesoría técnica: José Luis Abreu León, Oscar Escamilla González y Joel Espinosa Longi

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Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.

Adaptación: Juan José Rivaud Gallardo

Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi

Coordinación: Deyanira Monroy Zariñán

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Actualización tecnológica y de estilo, así como mejoras en la presentación en dispositivos móviles. 2024.

Actualización: Joel Espinosa Longi

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