Derivadas de una superficie \( z(x,y) \)

Ahora que ya sabemos cómo es la derivada de una ecuación paramétrica, analizaremos la derivada direccional de una superficie \( z(x,y) \)

Como ya vimos al inicio, la derivada direccional \( D_uf(x,y) \) representa la razón de cambio de \( z \) en la dirección de \( ū \). Es la pendiente de la recta tangente a la curva de intersección de la superficie \( z \) y al plano que pasa por\( (x_0,y_0) \) en la dirección de \( ū \). Como la derivada direccional es un producto punto, ésta se representa mediante un vector en el plano \( XY \), es decir, la derivada direccional es la proyección del vector tangente sobre el plano \( XY \).

En la siguiente escena se muestra una curva \( z \) y sus derivadas, hay controles con los que podrás elegir si se muestra la derivada direccional con respecto al vector \( ū \), la derivada con respecto a \( x \) o con respecto a \( y \), además podrás elegir las coordenadas del punto \( P \). La tangente a la superficie se mostrará de color azul, y las derivadas direccionales se mostraran en el plano \( XY \) de color verde.

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