Parametrización de una Hélice
Parametrización de una Hélice
Las hélices son curvas cuya forma aparece constantemente en la naturaleza y en la vida cotidiana. Piensa en un tornillo, en un tornado o incluso en la forma de algunas plantas. Matemáticamente, un punto \((x,y,z)\) de una hélice satisface la ecuación del círculo \(x^2+y^2=r^2\) y por lo tanto, la curva está sobre el cilindro cuya ecuación es precisamente \(x^2+y^2=r^2\). Entonces, una parametrización de la hélice está dada por las ecuaciones \[x=cos(t)\] \[y=sen(t)\] \[z=t \] con \(-\infty < t < \infty \).
Es decir que la curva trazada por la función
vectorial definida para toda \(t \in \mathbb{R}\)
\[\textbf{r}(t)=cos(t)\hat{\imath}+sen(t)\hat{\jmath}+t\hat{k}\]
es una hélice.
Por la forma en que se grafican las curvas en
este applet, multiplicamos a \(t\) por \(2\pi \).
Cuando agregamos parámetros a estas ecuaciones obtenemos una hélice
que no necesariamente es circular, y cuya distancia entre una vuelta y
otra también puede variar, o podemos obtener
una curva que no está sobre un cilindro. En la
siguiente escena veremos éstas últimas más a
fondo.
En la siguiente escena interactiva mueve los pulsadores a, b y c para que puedas observar los cambios que producen estos parámetros en la curva. ¿Qué pasa si a y b son distintos entre sí? ¿Qué pasa si c no es 1? ¿Qué pasa si agregas otro parámetro que multiplique a t? Utiliza m y n para hacer pruebas.
En esta escena interactiva puedes observar la gráfica y la ecuación de una hélice. Puedes modificar el valor de cada parámetro en las ecuaciones con los pulsadores a y b. Puedes modificar las ecuaciones en los campos de texto. Los pulsadores m y n son parámetros disponibles que puedes agregar a las ecuaciones \(x(t)\), \(y(t)\) y \(z(t)\). Los pulsadores t1 y t2 determinan el intervalo [t1,t2] donde se grafica la curva. El control N sirve para suavizar la curva.
Créditos
Escena original
Diseño del contenido | Brenda Casandra Vargas Rocha (Instituto de Ciencia e Ingeniería de Materiales, UNAM) |
Diseño funcional | Brenda Casandra Vargas Rocha (Instituto de Ciencia e Ingeniería de Materiales, UNAM) |
Programación | Brenda Casandra Vargas Rocha (Instituto de Ciencia e Ingeniería de Materiales, UNAM) |
Asesoría de programación |
José Luis Abreu León (Instituto de Matemáticas, UNAM) Leticia Montserrat Vargas Rocha |
Diseño gráfico | Ricardo López Gómez |
Coordinación | Leticia Montserrat Vargas Rocha |
Adaptación
Diseño funcional | Elsa Sirenia Vega Camacho |
Programación | Elsa Sirenia Vega Camacho |
Asesoría de programación |
Leticia Montserrat Vargas Rocha |
Diseño gráfico | Francisco Varela Fuentes |
Ilustración | Francisco Varela Fuentes |
Coordinación | Leticia Montserrat Vargas Rocha |
Los contenidos de esta unidad didáctica interactiva están bajo una licencia Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-CompartirIgual.
La unidad didáctica fue creada con Arquímedes, una herramienta de código abierto.
La unidad didáctica contiene escenas elaboradas con Descartes, una herramienta de código abierto.
LITE - UnADM 2014