Definición formal de límite
Definición formal de límite de funciones continuas
Observa los siguientes tres ejemplos de funciones continuas y cómo se define \(\delta\) para cada uno de ellos. En los tres casos puedes ver la expresión analítica de la función, que tiene tres parámetros: a, b y c. Observa los cambios en la gráfica de la función al variar estos parámetros y los cambios en las barras determinadas por los intervalos \([x_0+\delta, x_0-\delta]\) y \([(f(x_0)+\varepsilon, (f(x_0)-\varepsilon]\) al modificar a, b, c y epsilon.
En la primera escena interactiva, mueve \(x_0\) hacia el vértice de la parábola
y ajusta \(\varepsilon\) de tal manera que \(f(x_0)-\varepsilon\)
esté definido.
Observa que conforme \(x_0\) se aproxima
al vértice de la parábola, \(\varepsilon\) tendría que
hacerse cada vez más pequeño.
Si se deja fijo, llega un momento en que
\(f(x_0)-\varepsilon\) no está definido, lo cual implica
que \(x_0-δ(\varepsilon)\) tampoco lo esté. Esto pasa
si \(a > 0\) y \(c\circ f(x_0)\geq \varepsilon+(x_0)\geq-\varepsilon+c\). Si \(a < 0\) se invierten las desigualdades.
En esta escena interactiva modifica el control epsilon para observar la dependencia \(\delta(\varepsilon)\).
En el ejemplo de la siguiente escena interactiva, como la Imagen de la
función es \( \mathbb{R}\), \(f(x_0)-\varepsilon\) siempre está
bien definido para cualquier \(\varepsilon\).
En este caso, \(\delta\) es el mínimo entre
\(|\sqrt[3]{\frac{\varepsilon-c+f(x_0)}{a}}+b-x_0|\) y
\(|\sqrt[3]{\frac{-\varepsilon-c+f(x_0)}{a}}+b-x_0|\).
En esta escena interactiva modifica el control epsilon para observar la dependencia \(\delta(\varepsilon)\).
La Imagen de la función en el último ejemplo es \(\mathbb{R}\), pero
pasa algo similar que en el caso de
la parábola, \(f(x_0)-\varepsilon\) no está definida
para \(a<0\) si \(|\varepsilon| < c-f(x_0)\).
Lo mismo pasa para \(f(x_0)+ε\) para
\(a > 0\).
En este caso, \(\delta\) es el mínimo entre
\(|\ln \frac{-\varepsilon -c}{a}+b-x_0|\) y
\(|\ln \frac{\varepsilon -c}{a}+b-x_0|\).
En esta escena interactiva modifica el control epsilon para observar la dependencia \(\delta(\varepsilon)\).
Créditos
Escena original
Diseño del contenido | Elsa Sirenia Vega Camacho |
Diseño funcional | Elsa Sirenia Vega Camacho |
Programación | Elsa Sirenia Vega Camacho |
Asesoría de programación | Leticia Montserrat Vargas Rocha |
Diseño gráfico | Ricardo López Gómez |
Coordinación | Leticia Montserrat Vargas Rocha |
Adaptación
Diseño funcional | Elsa Sirenia Vega Camacho |
Programación | Elsa Sirenia Vega Camacho |
Asesoría de programación | Leticia Montserrat Vargas Rocha |
Diseño gráfico | Francisco Varela Fuentes |
Coordinación | Leticia Montserrat Vargas Rocha |
Los contenidos de esta unidad didáctica interactiva están bajo una licencia Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-CompartirIgual.
La unidad didáctica fue creada con Arquímedes, una herramienta de código abierto.
La unidad didáctica contiene escenas elaboradas con Descartes, una herramienta de código abierto.
LITE - UnADM 2015