Objetivo

Interpretar geométricamente el concepto de integral definida.

Conceptos básicos

La integral definida se denota como:

$$\int_{a}^{b}{f(x)dx}$$

en donde:

• $\int=$ signo de integración.
• $a=$ límite inferior de la integración.
• $b=$ límite superior de la integración.
• $f(x)=$ función a integrar o integrando.
• $dx=$ diferencial de la variable de la función que se va a integrar, en este caso $x$.

Procedimiento

La representación gráfica del resultado de una integral definida corresponde al área bajo la curva de la función, si ésta es continua en el intervalo de integración. Entonces, dada una función $f(x)$ de una variable real $x$ continua en un intervalo $[a,b]$, la integral definida

$$\int_{a}^{b}{f(x)dx}$$

es el área de la región del plano $XY$ limitada entre la gráfica de la función, el eje $X$, y las rectas $x=a$ y $x=b$. Esta área se muestra en color verde en el siguiente recuadro.

Como puede observarse, el área limitada por la gráfica de la función tiene signo positivo cuando, en el intervalo de integración, $f(x)$ toma valores positivos, y signo negativo cuando toma valores negativos. En este ejemplo, el valor del área es cero, porque la parte positiva y la parte negativa son iguales. Ahora bien, dependiendo del signo de la función en dicho intervalo, se tienen tres casos:

Cabe hacer notar que no en todos los casos la integral definida representa un área. Esto obedece a que la interpretación física de su resultado depende de la naturaleza de las magnitudes que describan la abscisa y la ordenada. Suponiendo que ambas representan distancias, el resultado de la integral definida sí es un área. Pero, si la ordenada representa la velocidad de un punto móvil y la abscisa correspondiente, el tiempo cuando el punto tiene esa velocidad, la gráfica se refiere a la curva de la velocidad del movimiento y el área bajo ella, entre dos ordenadas, a la distancia que se ha recorrido en el intervalo de tiempo considerado.

Las propiedades de la integral definida se pueden obtener a partir de su interpretación geométrica:

1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.
2. Si los límites de integración coinciden, la integral definida vale cero.
3. Si $d$ es un punto interior del intervalo $[a,b]$, la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos $[a,d]$ y $[d,b]$.
4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales.
5. La integral del producto de una constante $c$ por una función es igual a la constante por la integral de la función.

Ejemplos

Ejercicios

En los siguientes ejercicios elige el botón que corresponda a la integral cuya interpretación geométrica se presenta en la figura de la derecha.