La integral definida
Teorema Fundamental del Cálculo

Objetivo

Identificar el Teorema Fundamental del Cálculo.

Nota histórica

Cabe recordar que los orígenes del cálculo están en los problemas de mecánica y de geometría. Pese a que éstos habían sido estudiados desde la Antigüedad, por Arquímedes entre otros, fue hasta la segunda mitad del siglo XVII que Newton y Leibniz establecieron las bases del cálculo diferencial e integral, al descubrir la relación que existe entre ambos tipos de problemas.

Este descubrimiento les permitió formular un método general para resolverlos. El cálculo diferencial es esencialmente un método para solucionar problemas mecánicos. La derivación permite encontrar la velocidad de un movimiento. En cambio, el cálculo integral se ocupa de resolver problemas como encontrar el área bajo una curva y en algunos casos esa área representa la distancia recorrida por un móvil o el trabajo realizado por una fuerza.

De lo anteriormente expuesto, puede notarse que el problema del cálculo diferencial es recíproco al del cálculo integral. De aquí surge el Teorema Fundamental del Cálculo.

Conceptos básicos

El Teorema Fundamental del Cálculo dice que la derivada de la integral de una función es la misma función. Es decir, si una función $f(x)$ es continua en el intervalo $[a,b]$, y $x$ es cualquier punto dentro del intervalo, se puede definir $F(x)$ como:

$$F(x)=\int_{a}^{x}{f(t)dt}$$

entonces:

$$F'(x)=f(x)$$

Así, la integral de $f(x)$ puede verse como la antiderivada o primitiva de esa función. La importancia de este Teorema, al que en ocasiones se denomina Primer Teorema Fundamental del Cálculo, reside en dos aspectos:

Ejercicios

En el siguiente recuadro interactivo elige la respuesta correcta presionando el botón correspondiente.


Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.

Autora: Norma Patricia Apodaca Alvarez

Edición académica: José Luis Abreu León y Carlos Hernández Garciadiego

Edición técnica: Octavio Fonseca Ramos


Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.

Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán

Asesoría técnica: José Luis Abreu León, Oscar Escamilla González y Joel Espinosa Longi


Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.

Adaptación: Juan José Rivaud Gallardo

Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi

Coordinación: Deyanira Monroy Zariñán


Actualización tecnológica y de estilo, 2019.

Actualización: Joel Espinosa Longi


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Los componentes interactivos fueron creados con Descartes que es un producto de código abierto.