Objetivo

Calcular la rapidez instantánea de un móvil a partir de su función de posición en un tiempo determinado.

Antecedentes

La velocidad promedio de un objeto que se mueve a lo largo de una línea recta es el cociente

$$\frac{y_{1}-y_{0}}{t_{1}-t_{0}}$$

donde $y_{1}$, $y_{0}$ son las posiciones en los momentos $t_{1}$, $t_{0}$, respectivamente. Observa que como el móvil puede retroceder en un lapso de tiempo $∆t=t_{1}-t_{0}$ positivo, es posible que el desplazamiento $y_{1}-y_{0}$ sea negativo y entonces la velocidad promedio también sea negativa. En ocasiones este cociente es siempre el mismo, entonces decimos que la velocidad es constante, es decir, que el cuerpo se mueve siempre a esa velocidad. Pero no siempre es así. Por ejemplo, los cuerpos que caen recorren una distancia mayor por unidad de tiempo a medida que van cayendo; un automóvil que frena va disminuyendo la distancia recorrida por unidad de tiempo y un objeto colgado de un resorte disminuye su rapidez al acercarse a su máximo desplazamiento, para cambiar de dirección cuando lo alcanza.

En la escena anterior se muestran ejemplos de gráficas de posición respecto al tiempo. En ellos se observa que la velocidad promedio entre dos momentos $t_{0}$ y $t$

$$\frac{y(t)-y(t_{0})}{t-t_{0}}$$

es la pendiente de la recta que cruza a la gráfica en los puntos $(t_{0},y(t_{0}))$ y $(t,y(t))$. En el ejemplo 1 la velocidad promedio es constante, el objeto se mueve siempre a igual velocidad. Pero en los otros depende del tramo de tiempo que estemos observando. ¿Qué velocidad lleva exactamente en el tiempo $t_{0}$?

Procedimiento

Cuando tomamos lapsos de tiempo cada vez menores, es decir, cuando hacemos que $t$ se aproxime a $t_{0}$, la velocidad promedio se aproxima a un valor límite que definimos como la velocidad instantánea que el objeto lleva en el momento $t_{0}$. Así, velocidad instantánea en $\displaystyle t_{0}=\lim_{t \to t_{0}}{\frac{y(t)-y(t_{0})}{t-t_{0}}}$.

Pero este límite es la derivada en $t_{0}$ de la función posición $y(t)$. Por lo tanto, la velocidad instantánea es la derivada de la función posición respecto al tiempo

$$v(t_{0})=\frac{dy}{dt}(t_{0})$$

Ejemplos

Ejercicios