Obtener la derivada de la composición de funciones del tipo $f(x)=h(g(x))$, donde $h$ es función trascendente y $g$ algebraica.
Las funciones $(x^{2}+1)^{100}$, $cos(3x^{3}-2x)$, $3 sen^{5}(x)+2$ o $e^{tg(x)+x}$ son algunos ejemplos de lo que llamamos composición de funciones. La composición, $h \circ g$ de dos funciones es una función que evalúa $g(x)$ y al resultado de esta evaluación le aplica la función $h$. Así
En la siguiente escena puedes observar el significado geométrico de la composición. Mueve el control $x$ en la primera gráfica, la flecha roja muestra el valor $g(x)$, en la segunda gráfica se evalúa $h$ en $u=g(x)$ y en la tercera gráfica ese valor, $h(u)=h(g(x))$ se asocia con $x$. Con los pulsadores puedes cambiar las funciones $g$ y $h$.
La derivada de la composición $h(g(x))$ en el punto $x_{0}$ es el límite del cociente
$$\frac{h(g(x))-h(g(x_{0}))}{x-x_{0}}=\frac{Δ(h \circ g))}{Δ x}$$cuando $x$ tiende a $x_{0}$. Si pulsas ver/cerrar en la escena anterior, podrás observar la relación de ese cociente con
$$\frac{Δ(h \circ g))}{∆g}=\frac{h(g(x))-h(g(x_{0}))}{g(x)-g(x_{0})}$$y
$$\frac{∆g}{Δ x}=\frac{g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}}$$Si $Δg=g(x)-g(x_{0})≠0$
$$\frac{Δ(h \circ g)}{Δ x}=\frac{Δ(h \circ g)}{∆g}·\frac{∆g}{Δ x}$$Entonces la derivada de la composición
$$\begin{aligned} \frac{d(h \circ g)}{dx}(x_{0}) &= \lim_{x \to x_{0}} \frac{Δ(h \circ g)}{Δ x} \\ &= \lim_{x \to x_{0}} \frac{Δ(h \circ g)}{∆g}·\lim_{x \to x_{0}} \frac{∆g}{Δx} \\ &= \lim_{x \to x_{0}} \frac{h(g(x))-h(g(x_{0})}{g(x)-g(x)}·\lim_{x \to x_{0}} \frac{g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}} \end{aligned}$$y, como $u=g(x)→u_{0}=g(x_{0})$ cuando $x→x_{0}$,
$$\begin{aligned} &=\lim_{u \to u_{0}} \frac{h(u)-h(u_{0})}{u-u_{0}}·\lim_{x \to x_{0}} \frac{g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}}\\ &= \frac{dh}{du}(u_{0})·\frac{dg}{dx}(x_{0})\\ &=\frac{dh}{du}(f(x_{0}))·\frac{dg}{dx}(x_{0}) \end{aligned}$$En resumen, para calcular la derivada de una composición se aplica la Regla de la Cadena
$$\frac{d(h \circ g)}{dx} x_{0}=\frac{dh}{du}(f(x_{0}))·\frac{dg}{dx}(x_{0})$$Nota: Cuando $g(x)$ es constante, $Δg=g(x)-g(x_{0})=c-c=0$, como no se puede dividir entre $0$, no podemos sustituir $\frac{Δ(h \circ g)}{Δx}$ por $\frac{Δ(h \circ g)}{Δg}$. $\frac{Δg}{Δx}$ para ninguna $x$. Pero, en ese caso, la composición $h \circ g(x)$ también es constante: $h(g(x))=h(c)$. De ahi que $\frac{dh}{du}(f(x_{0}))·\frac{dg}{dx}(x_{0})=\frac{dh}{du}(f(x_{0}))·0=0$ y $\frac{d(h \circ g)}{dx}$ $(x_{0})$ $=0$
y que también sea válida la Regla de la Cadena.
Así, para obtener la derivada de la composición de dos funciones $h(g(x))$ en un punto $x_{0}$:
Con los pulsadores podrás ver paso a paso el procedimiento aplicado a ejemplos en los que la función $h$ es trascendente y la función $g$ es algebraica.
Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.
Autora: María de Lourdes Velasco Arregui
Editores académicos: José Luis Abreu León y Carlos Hernández Garciadiego
Editor técnico: Carlos Alberto Serrato Hernández
Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.
Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán
Asesoría técnica: José Luis Abreu León, Oscar Escamilla González y Joel Espinosa Longi
Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.
Adaptación: Juan José Rivaud Gallardo
Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi
Coordinación: Deyanira Monroy Zariñán
Actualización tecnológica y de estilo, 2019.
Actualización: Joel Espinosa Longi
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