Obtener la derivada de la composición de funciones del tipo $f(x)=h(g(x))$, donde $h$ y $g$ son funciones algebraicas.
Las siguientes funciones son algunos ejemplos de lo que llamamos composición de funciones:
La composición $h \circ g$ de dos funciones es una función que primero evalúa $g(x)$ y al resultado de esta evaluación le aplica la función $h$. Así, tenemos que:
(para ver una explicación más detallada presiona el botón correspondiente a cada ejemplo)
En la siguiente escena puedes observar geométricamente el significado de la composición. Mueve el punto $x$ en la primera gráfica, la flecha roja muestra el valor $g(x)$, en la segunda gráfica se evalúa $h$ en $u=g(x)$ y en la tercera gráfica ese valor, $h(u)=h(g(x))$ se asocia con $x$. Con los pulsadores puedes cambiar las funciones $g$ y $h$.
La derivada de la composición $h(g(x))$ en el punto $x_{0}$ es el límite del cociente
$$\frac{h(g(x))-h(g(x_{0}))}{x-x_{0}}=\frac{Δ(h \circ g)}{Δx}$$cuando $x$ tiende a $x_{0}$.
Presiona el botón $Δ$, en la escena anterior, para observar la relación de ese cociente con
$$\frac{Δ(h \circ g)}{Δg}=\frac{h(g(x))-h(g(x_{0}))}{g(x)-g(x_{0})}$$y
$$\frac{Δg}{Δx}=\frac{g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}}$$Si $Δ g=g(x)-g(x_{0})≠0$ entonces
$$\frac{h(g(x))-h(g(x_{0}))}{x-x_{0}}=\frac{h(g(x))-h(g(x_{0}))}{g(x)-g(x_{0})}·\frac{g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}}$$y si llamamos $u=g(x)$ y $u_{0}=g(x_{0})$, vemos que
$$\frac{h(g(x))-h(g(x_{0}))}{x-x_{0}}=\frac{h(u)-h(u_{0})}{u-u_{0}}·\frac{g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}}$$Además, cuando $x$ tiende a $x_{0}$ tenemos que $u=g(x)$ tiende a $u_{0}=g(x_{0})$.
Entonces la derivada de la composición es
$$\begin{aligned} \frac{d(h \circ g)}{dx}(x_{0}) &= \lim_{x \to x_{0}} \frac{h(g(x))-h(g(x_{0}))}{x-x_{0}}\\ &= \lim_{x \to x_{0}} \frac{h(g(x))-h(g(x_{0}))}{g(x)-g(x_{0})}·\lim_{x \to x_{0}}\frac{g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}}\\ &=\lim_{u \to u_{0}}{} \frac{h(u)-h(u_{0})}{u-u_{0}}·\lim_{x \to x_{0}}{} \frac{g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}}\\ &=\frac{dh}{du}(u_{0})·\frac{dg}{dx}(x_{0})\\ &=\frac{dh}{du}(g(x_{0}))·\frac{dg}{dx}(x_{0}) \end{aligned}$$En resumen, para calcular la derivada de una composición aplicamos la llamada Regla de la Cadena:
$$\frac{d(h \circ g)}{dx}(x_{0})=\frac{dh}{du}(g(x_{0}))·\frac{dg}{dx}(x_{0})$$Observa que, cuando $g(x)$ es constante,
$$Δg=g(x)-g(x_{0})=c-c=0$$y entonces no es posible sustituir $\frac{Δ(h \circ g)}{Δx}$ por $\frac{Δ(h \circ g)}{Δg}·\frac{Δg}{Δx}$ para ningún valor de $x$.
Sin embargo, en ese caso también es constante la composición $(h \circ g)(x)$, ya que $h(g(x))=h(c)$.
De ahí que
$$\frac{dh}{du}(g(x_{0}))·\frac{dg}{dx}(x_{0})=\frac{dh}{du}(g(x_{0}))·0=0$$y
$$\frac{d(h \circ g)}{dx}(x_{0})=0$$que también sea válida la Regla de la Cadena.
Así, para obtener la derivada de la composición de dos funciones $h(g(x))$ en un punto $x_{0}$ se siguen los siguientes pasos:
Pulsa los botones para ver el procedimiento, paso a paso, aplicado a ejemplos en los cuales las dos funciones son algebraicas. Puedes cambiar de ejemplo con los botones de navegación en la parte inferior.
Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.
Autora: María de Lourdes Velasco Arregui
Editores académicos: José Luis Abreu León y Carlos Hernández Garciadiego
Editor técnico: Carlos Alberto Serrato Hernández
Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.
Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán
Asesoría técnica: José Luis Abreu León, Oscar Escamilla González y Joel Espinosa Longi
Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.
Adaptación: Juan José Rivaud Gallardo
Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi
Coordinación: Deyanira Monroy Zariñán
Actualización tecnológica y de estilo, 2019.
Actualización: Joel Espinosa Longi
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