Objetivos

En esta unidad se cubrirán los siguientes objetivos:

• Obtener por fórmula la derivada del producto de dos funciones algebraicas no compuestas.
• Obtener por fórmula la derivada del producto de dos funciones trascendentes no compuestas.
• Obtener por fórmula la derivada del producto de una función algebraica y una trascendente no compuestas.

Fórmulas

Para obtener la derivada del producto de dos funciones, se aplica la siguiente regla:

el primer factor por la derivada del segundo más el segundo factor por la derivada del primero $$(f·g)'(x)=f(x)g'(x)+g(x)f'(x)$$

Justificación

Veamos la demostración de la fórmula de la derivada de un producto de funciones:

$$(f·g)'(x)=f (x)·g'(x)+g(x)·f'(x)$$

Recuerda que, la definición de la derivada de una función es

$$f'(x)=\lim_{∆x \to 0}{\frac{f(x+∆x)-f(x)}{∆x}}$$

Al usar esta definición para obtener la derivada de la función $f(x)·g(x)$ escribimos

$$(f·g)'(x)=\lim_{∆x \to 0}{\frac{f(x+∆x)g(x+∆x)-f(x)g(x)}{∆x}}$$

Ahora, hay que sumar y restar el término $f(x+∆x)g(x)$. Esto no afectará a la expresión, pues un número, menos él mismo, es cero. Esto se hace con miras a factorizar $f(x+∆x)$ y $g(x)$.

$$=\lim_{∆x \to 0}{\frac{f(x+∆x)g(x+∆x)-f(x+∆x)g(x)+f(x+∆x)g(x)-f(x)g(x)}{∆x}}$$

Al factorizar $f(x+∆x)$ y $g(x)$ se obtiene

$$=\lim_{∆x \to 0}{\frac{f(x+∆x)(g(x+∆x)-g(x))+g(x)(f(x+∆x)-f(x))}{∆x}}$$

y, como el límite de una suma es la suma de los límites, entonces

$$=\lim_{∆x \to 0}{f(x+∆x)\frac{g(x+∆x)-g(x)}{∆x}+\lim_{∆x \to 0}{g(x)} \frac{f(x+∆x)-f(x)}{∆x}}$$

y el límite de un producto es el producto de los límites

$$=\lim_{∆x \to 0}{f(x+∆x)}\lim_{∆x \to 0}{\frac{g(x+∆x)-g(x)}{∆x}+\lim_{∆x \to 0}{g(x)}\lim_{∆x \to 0}{\frac{f(x+∆x)-f(x)}{∆x}}}$$

reescribimos como

$$=(\lim_{∆x \to 0}{f(x+∆x)})g'(x)+(\lim_{∆x \to 0}{g(x)})f'(x)$$

pero $\displaystyle \lim_{∆x \to 0}{f(x+∆x)}=f(x)$ y $\displaystyle \lim_{∆x \to 0}{g(x)}=g(x)$, entonces

$$(f·g)'(x)=f(x)·g'(x)+g(x)·f'(x)$$

Observación 1. Hay que notar que la regla de la derivada del producto de dos funciones se puede generalizar para el caso de más de dos funciones. Por ejemplo, para el producto de tres funciones se tiene

$$(f_{1}·f_{2}·f_{3})'(x)=f_{1}'(x)f_{2}(x)f_{3}(x)+f_{1}(x)f_{2}'(x)f_{3}(x)+f_{1}(x)f_{2}(x)f_{3}'(x)$$

Utiliza el siguiente cuadro interactivo para repasar la fórmula de la derivada de un producto de funciones. Arrastra y suelta las expresiones faltantes en el lugar correcto.

Ejemplos

En el siguiente cuadro interactivo se muestran ejemplos de la derivada del producto de dos funciones.

Ejercicios

Resuelve los siguientes ejercicios. Si deseas ver cómo se resuelve el ejercicio, pulsa el botón Ver solución.