Objetivo

Determinar el valor de logaritmos decimales y naturales con ayuda de tablas o calculadora, hasta diezmilésimos.

Antecedentes

Hasta la aparición de las calculadoras y computadoras, para calcular los logaritmos era imprescindible el uso de tablas logarítmicas. Estas tablas estaban hechas considerando las propiedades de los logaritmos de tal forma que no fueran muy extensas. Por lo mismo, era necesario tener un entrenamiento para poder utilizarlas.

Procedimiento

Observa la siguiente tabla de logaritmos base $10$, en ella se muestran los cinco primeros decimales del logaritmo de cada número entre el $1.00$ y el $9.99$, con $2$ decimales.

Ejemplo: Para encontrar el logaritmo de $1.23$, localiza en la columna de la izquierda el número $12$, que corresponde a la parte entera y el primer decimal de $1.23$. Sobre el renglón $12$, muévete a la derecha hasta la columna encabezada por el $3$, que es el segundo decimal de $1.23$. En esa casilla encontrarás al número $0.08991$, que es el logaritmo de $1.23$.

La tabla sólo nos proporciona el valor de los números de dos decimales entre $1$ y $9.99$. Obtener los logaritmos aproximados de otros números es bastante simple, si recordamos una propiedad del logaritmo:

$$log(ab)=log(a)+log(b)$$

Con esta propiedad podemos calcular el logaritmo de $12.3$ a partir del de $1.23$. Sólo hay que observar lo siguiente:

$$\begin{aligned} log(12.3) &= log(10×1.23)\\ &=log(10)+log(1.23)\\ &=1+0.08991\\ &=1.08991 \end{aligned}$$

Como puedes observar, lo único que debes recordar es cómo se comporta el logaritmo de un producto y que el logaritmo de $10^{n}$ es igual a $n$.

Ejemplo 1: $log(123)$

$$\begin{aligned} log(123) &= log(1.23×100)\\ &=log(12.3)+log(100)\\ &=0.08991+2\\ &=2.08991 \end{aligned}$$

Ejemplo 2: $log(3455)$

$$\begin{aligned} log(3455) &= log(3.455×1000)\\ &=log(3.455)+log(1000)\\ &=log(3.455)+3 \end{aligned}$$

Como nuestra tabla no muestra el logaritmo de $3.455$, tendremos que interpolarlo. El logaritmo de $3.45$ es $0.53782$ y el de $3.46$ es $0.53908$. Así que el logaritmo de $3.455$ estará entre estos dos números. Una buena aproximación es tomar el promedio de ellos, es decir, $(0.53782+0.53908)/2=0.53845$. Este es un valor aproximado que nos servirá. Por lo tanto $log(3455)=0.53845+3=3.53845$.

Ejercicios

Los logaritmos naturales también son muy utilizados en ciencias e ingeniería. Corresponden a logaritmos con base $e$. Utiliza tu calculadora para encontrar los siguientes valores dando a tu respuesta 5 decimales: