Identidades trigonométricas fundamentales
Identidades de cocientes

Objetivo

Identificar las identidades trigonométricas de cociente: $tan(x)=\frac{sen(x)}{cos(x)}$, $cot(x)=\frac{cos(x)}{sen(x)}$.

Procedimiento

Considera un triángulo rectángulo con hipotenusa de longitud $1$ y en el que el cateto opuesto a un ángulo agudo $α$ es $a$ y el cateto adyacente a ese mismo ángulo es $b$, como se muestra en el recuadro abajo.

Por la definición de las razones trigonométricas de seno y coseno, se tiene que:

$$sen(α)=\frac{a}{1}$$ $$cos(α)=\frac{b}{1}$$

Al despejar $a$ de la primera ecuación y $b$ de la segunda, se obtiene:

$$(1)(sen(α))=a$$ $$(1)(cos(α))=b$$

o, lo que es lo mismo:

$$a=sen(α)$$ $$b=cos(α)$$

Si se calcula la tangente del ángulo $α$ en este triángulo, se tiene

$$tan(α)=\frac{a}{b}=\frac{sen(α)}{cos(α)}$$

Además, podemos obtener una expresión análoga para la cotangente de $α$.

$$cot(α)=\frac{b}{a}=\frac{cos(α)}{sen(α)}$$

De manera que se tienen ya las dos identidades trigonométricas de cociente

En el siguiente recuadro interactivo puedes observar que las razones trigonométricas no dependen del tamaño del triángulo considerado sino sólo de su forma, por lo que utilizar un triángulo de hipotenusa de longitud $1$ no demerita el argumento anterior. Por otro lado, también puedes verificar que cuando la hipotenusa del triángulo mide $1$, el cateto opuesto a $α$ mide exactamente el valor de $sen(α)$ y el cateto adyacente, el de $cos(α)$. Mueve el control gráfico (punto verde) con el ratón hasta que la longitud de la hipotenusa sea igual a $1$.

Ejercicios

Usa las identidades de cociente:

$$tan(α)=\frac{sen(α)}{cos(α)}$$

y

$$cot(α)=\frac{cos(α)}{sen(α)}$$

para descubrir a cuál de los incisos es igual la expresión dada.


Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.

Autores: Fernando René Martínez Ortiz y Norma Patricia Apodaca Alvarez

Edición académica: José Luis Abreu León, Fernando René Martínez Ortiz y Joel Espinosa Longi

Edición técnica: Norma Patricia Apodaca Alvarez


Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.

Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán

Asesoría técnica: José Luis Abreu León, Oscar Escamilla González y Joel Espinosa Longi


Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.

Adaptación: Juan José Rivaud Gallardo

Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi

Coordinación: Deyanira Monroy Zariñán


Actualización tecnológica y de estilo, 2019.

Actualización: Joel Espinosa Longi


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