Objetivo

Identificar las identidades trigonométricas recíprocas: $csc\;x=\frac{1}{sen\;x}$, $sec\;x=\frac{1}{cos\;x}$, $cot\;x =\frac{1}{tan\;x}$.

Procedimiento

El recíproco de un número $x≠0$ es igual a $\frac{1}{x}$, es decir, es aquel número que multiplicado por el número original da como resultado $1$. En el siguiente recuadro interactivo podrás comparar los recíprocos de las razones trigonométricas de un ángulo agudo con los valores de estas últimas.

A partir de estos ejemplos puedes sospechar que:

$$\frac{1}{sen(α)}=csc(α)$$ $$\frac{1}{cos(α)}=sec(α)$$ $$\frac{1}{tan(α)}=cot(α)$$

De hecho, con el siguiente argumento puedes verificar que estas identidades son ciertas. Considera el siguiente triángulo rectángulo. Las razones trigonométricas se definen como

Observa que:

$$\frac{1}{sen(α)}=\frac{1}{\frac{b}{c}}=\frac{1×c}{b}=\frac{c}{b}=csc(α)$$

Es decir, se puede transformar el recíproco del seno de $α$ en la cosecante del mismo ángulo a través de igualdades, lo cual demuestra que la identidad es cierta.

$$\frac{1}{sen(α)}=csc(α)$$

De la misma forma

$$\frac{1}{cos(α)}=\frac{1}{\frac{a}{c}}=\frac{1×c}{a}=\frac{c}{a}=sec(α)$$

y

$$\frac{1}{tan(α)}=\frac{1}{\frac{b}{a}}=\frac{1×a}{b}=\frac{a}{b}=cot(α)$$

demuestran las importantes identidades:

$$\frac{1}{cos(α)}=sec(α)$$ $$\frac{1}{tan(α)}=cot(α)$$

Ejercicios

1. En tu cuaderno encuentra los recíprocos de secante, cosecante y cotangente de un ángulo.
2. Usa las identidades anteriores para descubrir a cuál de los incisos es igual la expresión dada.