Funciones con radicales
Estudio analítico del rango de las funciones con radicales

Objetivo

Determinar analíticamente el rango de una función del tipo:

$f(x)=±\sqrt{ax+b}$ o $f(x)=±\sqrt{ax^{2}+bx+c}$

Procedimiento

Identificar el signo del coeficiente del radical:

  1. Si es positivo, el rango contiene valores mayores o iguales que cero.
  2. Si es negativo, el rango contiene valores menores o iguales que cero.

La gráfica de la función puede ser: la mitad de una parábola, la mitad de una elipse o la mitad de una hipérbola.

Solución

Para determinar analíticamente el rango de una función radical, se despeja $x$ de la expresión y se determinan los valores de $y$ que dan como resultado valores reales para $x$.

En ambos casos, cualquier valor de $y$ da como resultado un valor real para $x$. Si el signo del coeficiente del radical es positivo el rango es $[0,∞)$, si es negativo el rango es $(-∞,0]$.

Como son mitades de elipses verticales o circunferencias, un extremo corresponde a la longitud del semieje mayor o radio, respectivamente. El otro extremo del intervalo es cero. Si el signo del coeficiente del radical es positivo, el rango es:

$$y ∈ [0, \sqrt{c-\frac{b^{2}}{4a}}]$$

mientras que si es negativo, el rango es:

$$y∈[-\sqrt{c-\frac{b^{2}}{4a}},0]$$

Ejemplo

A continuación se determina el rango de las diferentes funciones radicales descritas arriba.

Ejercicio

Indica el rango de la función.


Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.

Autor: Octavio Fonseca Ramos

Edición académica: Carlos Hernández Garciadiego y Fernando René Martínez Ortiz

Edición técnica: Norma Patricia Apodaca Alvarez y Fernando René Martínez Ortiz


Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.

Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán

Asesoría técnica: José Luis Abreu León, Oscar Escamilla González y Joel Espinosa Longi


Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.

Adaptación: Octavio Fonseca Ramos

Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi

Coordinación: Deyanira Monroy Zariñán


Actualización tecnológica y de estilo, 2019.

Actualización: Joel Espinosa Longi


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