Obtener la ecuación general de una parábola con vértice en $(h, k)$ y conociendo la ecuación de la directriz.
La ecuación ordinaria de una parábola horizontal con vértice en un punto $(h, k)$ es de la forma:
$(y-k)^{2}=4p(x-h)$, si abre hacia la derecha $(y-k)^{2}=-4p(x-h)$, si abre hacia la izquierda $(1)$
en donde $p$ es la distancia del vértice al foco o del vértice a la directriz.
La ecuación ordinaria de una parábola vertical con vértice en un punto $(h, k)$ es de la forma:
$(x-h)^{2}=4p(y-k)$, si abre hacia arriba $(x-h)^{2}=-4p(y-k)$, si abre hacia abajo $(2)$
en donde $p$ es la distancia del vértice al foco o del vértice a la directriz.
La ecuación general de cualquier cónica es de la forma:
$$\tag{3} Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$$Para pasar de la ecuación ordinaria (1) ó (2) a la ecuación (3), se pasan todos los términos al lado izquierdo de la ecuación, se desarrolla el binomio al cuadrado y se simplifica.
Si la parabola es horizontal, debe quedar una ecuación de la forma:
$$\tag{4} y^{2}+Dx+Ey+F=0$$Si la parábola es vertical, debe quedar una ecuación de la forma:
$$\tag{5} x^{2}+Dx+Ey+F=0$$Para obtener la ecuación general de una parábola cuyo eje focal es paralelo a uno de los ejes, con vértice en un punto $(h, k)$ y conociendo la ecuación de la directriz:
Utilizando los pulsadores del recuadro interactivo, cambia el valor del vértice $(h, k)$, y el de la directriz. Observa cómo se modifica tanto la gráfica como la ecuación general de la parábola al variar dichos valores.
Parábola horizontal Parábola vertical
En el siguiente recuadro interactivo, observa cómo se determina la ecuación general de la parábola con vértice en $(h, k)$, cuando se conoce la ecuación de la directriz. Presiona el pulsador que se localiza en el extremo inferior izquierdo y avanza en la solución tratando de comprender cada uno de los pasos. Analiza otros ejemplos, al dar clic en el botón que se encuentra en el extremo inferior derecho del cuadro.
Realiza lo que se te pida en cada caso. Escribe el resultado sobre los campos de texto del cuadro y a continuación presiona Intro. Si tu respuesta es correcta, desaparecerá el campo de texto; en caso contrario, deberás reintentarlo. Al terminar se desplegará el botón que te permitirá acceder a otro ejercicio. Recuerda que al dar doble clic sobre un campo de texto se desplegará la calculadora.
Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.
Autores: Carlos Hernández Garciadiego y Eréndira Itzel García Islas
Edición académica: José Luis Abreu León, Fernando René Martínez Ortiz y Joel Espinosa Longi
Edición técnica: Norma Patricia Apodaca Alvarez
Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.
Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán
Asesoría técnica: José Luis Abreu León, Oscar Escamilla González y Joel Espinosa Longi
Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.
Adaptación: Juan José Rivaud Gallardo
Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi
Coordinación: Deyanira Monroy Zariñán
Actualización tecnológica y de estilo, 2019.
Actualización: Joel Espinosa Longi
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