Objetivo

Determinar la intersección de una recta con una circunferencia.

Recordatorio

Una recta puede cortar a una circunferencia en:

• Dos puntos
• Un punto
• Ningún punto

Utiliza el pulsador que se muestra a continuación y observa los distintos tipos de intersecciones que una recta puede tener con una circunferencia.

Razonamiento

Para determinar la intersección de una recta con una circunferencia, basta con resolver de manera simultánea las ecuaciones de la recta y de la circunferencia.

Solución

Despejar una variable (digamos, $y$) de la ecuación de la recta y sustituirla en la ecuación de la circunferencia.

Al simplificar se obtiene una ecuación de segundo grado que puede tener:

• Dos soluciones
• Una solución
• Ninguna solución

En caso de existir soluciones, sustituir cada una en la ecuación de la recta para obtener la otra coordenada del punto de intersección.

En la siguiente escena interactiva, cambia los coeficientes de las ecuaciones de la circunferencia y de la recta y observa cómo se definen los puntos de intersección al modificar dichos valores.

Detalle

Si la ecuación de la recta contiene a la variable $y$, se debe despejar:

$$\tag{1} y = mx+b$$

Sustituir y en la ecuación de la circunferencia:

$$\tag{2} x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0$$ $$\tag{3} x^{2}+(mx+b)^{2}+Dx+E(mx+b)+F=0$$

Al simplificar se obtiene una ecuación de la forma:

$$\tag{4} ax^{2}+bx+c=0$$

Si tiene soluciones $x_{1}$ y $x_{2}$, se sustituyen en la ecuación (1) obteniendo:

$y_{1}=mx_{1}+b$ y $y_{2}=mx_{2}+b$

Los puntos $(x_{1},y_{1})$ y $(x_{2},y_{2})$ son las intersecciones de la recta y el círculo.

Puede suceder que la ecuación (4) no tenga solución, en cuyo caso la recta y la circunferencia no se cortan, o que tenga una sola solución, lo que significa que la recta es tangente al círculo en un punto.

Si la ecuación de la recta no tiene variable y, es de la forma $x=k$. Se sustituye $x$ por la constante $k$ en la ecuación (2) y se obtiene:

$$k^{2}+y^{2}+Dk+Ey+F=0$$

que es una ecuación de segundo grado en $y$. Si tiene soluciones $y_{1}$ y $y_{2}$, entonces los puntos $(k,y_{1})$ y $(k,y_{2})$ son las intersecciones que se buscan.

Ejemplos

Observa cómo se encuentra la intersección de una recta con una circunferencia. Para ello utiliza el pulsador que se sitúa abajo del ejercicio y avanza en la solución tratando de comprender cada uno de los pasos. Analiza otros ejemplos al dar clic en el botón que se localiza en el extremo inferior derecho del cuadro.

Ejercicios

Resuelve los siguientes ejercicios, primero en tu cuaderno, y después introduce tu respuesta en el recuadro interactivo que se presenta abajo. Si tu respuesta es correcta, se inhabilitará el campo de texto; en caso contrario, inténtalo de nuevo. Al terminar, se desplegará el botón que te permitirá acceder a otro ejercicio.