Objetivo

Obtener la ecuación de una circunferencia cuando se conocen los extremos de uno de sus diámetros.

Recordatorio

La ecuación ordinaria o estándar de una circunferencia con centro en un punto $(h,k)$ y radio $r$ es:

$$\tag{1} (x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$$

La ecuación general de una circunferencia es:

$$\tag{2} x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0$$

Procedimiento

Si se conocen los extremos de uno de los diámetros de una circunferencia, se encuentra su centro y su radio, y se sustituyen en la ecuación ordinaria de la circunferencia.

Solución

1. El punto medio de los extremos del diámetro es el centro de la circunferencia.
2. La distancia del centro a uno de los extremos del diámetro es el radio.

En la siguiente escena interactiva, cambia los valores de las coordenadas de los extremos del diámetro y observa cómo se modifican la ecuación ordinaria y general de la circunferencia al variar dichos parámetros.

Detalle

1. Si $A(x_{1},y_{1})$, $B(x_{2},y_{2})$ son los extremos de la circunferencia, se usa la fórmula de punto medio para encontrar las coordenadas $(h,k)$ del centro. $$\tag{3} (h,k)=(\frac{x_{1}+x_{2 }}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2})$$
2. Se usa la fórmula de la distancia entre dos puntos para encontrar el radio. $$\tag{4} r=\sqrt{(x_{1}-h)^{2 }+(y_{1}-k)^{2}}$$
3. Se sustituyen las coordenadas del centro $(h,k)$ y el radio $r$ en la ecuación ordinaria (1). Observa que como en (1) se requiere $r^{2}$, no es necesario sacar la raíz cuadrada en (4).
4. Para obtener la ecuación general (2), se desarrollan los binomios al cuadrado, se pasan todos los términos del lado izquierdo y se simplifica.

Ejemplos

En el recuadro interactivo que se presenta a continuación, observa cómo se determina la ecuación general de la circunferencia cuando se conocen los extremos de uno de sus diámetros. Presiona el pulsador que se sitúa debajo del ejercicio y avanza en la solución tratando de comprender cada uno de los pasos. Analiza otros ejemplos al dar clic sobre el botón que se localiza en el extremo inferior derecho del cuadro.

Ejercicios

Determina lo que se te pida en cada caso. Escribe tu respuesta sobre los campos de texto del cuadro y a continuación presiona Intro. Si tu respuesta es correcta, se inhabilitará el campo de texto; en caso contrario, deberás reintentarlo. Al terminar se desplegará el botón que te permitirá acceder a otro ejercicio.