Rectas y puntos notables de un triángulo
Ecuaciones de las bisectrices de un triángulo

Objetivo

Determinar la ecuación de una de las bisectrices de un triángulo a partir de sus vértices.

Procedimiento

Para determinar la ecuación de una de las bisectrices de un triángulo a partir de sus vértices, se deben obtener las ecuaciones generales de los dos lados que forman el ángulo de interés para poder sustituir los valores de los coeficientes en la fórmula respectiva y, finalmente, con ayuda de la gráfica, identificar la recta bisectriz buscada.

Solución

Sea el triángulo de vertices $P(x_{1},y_{1})$, $Q(x_{2},y_{2})$ y $R(x_{3},y_{3})$ para el que se va a determinar la ecuación de la bisectriz que pasa por el vértice P, es decir, la bisectriz del ángulo formado por los segmentos $PQ$ y $PR$.

Primero, se determina la ecuación de cada recta a la que pertenecen, respectivamente, los dos lados, para ello se utiliza la ecuación de la recta que pasa por dos puntos:

$$y-y_{1} = \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} (x-x_{1})$$

Estas ecuaciones se convierten entonces a su forma general transponiendo todos sus términos al lado izquierdo, de aquí se obtienen ecuaciones de la forma:

$$Ax+By+Cz=0$$

Posteriormente, a partir de las ecuaciones en forma general de las rectas $L_{1}$ (lado $PQ$) y $L_{2}$‚ (lado $PR$) se sustituye los coeficientes en la siguiente expresión, con la que se obtienen las ecuaciones de las dos bisectrices.

$$\frac{∣A_{1}x+B_{1}y+C_{1} ∣}{\sqrt[ ]{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}}}=\frac{∣A_{2}x+B_{2}y+C_{2} ∣}{\sqrt[ ]{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}}}$$

Finalmente, con ayuda de la gráfica se obtiene la ecuación de la bisectriz buscada.

Ejemplo

En el siguiente ejemplo, se describe el procedimiento para determinar la ecuación de la bisectriz del ángulo $P$ del triángulo $PQR$. Arrastra los vértices del triángulo para asignarles los valores deseados y después presiona el botón Continuar de la parte inferior.

Ejercicios

En el siguiente ejercicio se quiere determinar la ecuación de la bisectriz de uno de los ángulos interiores del triángulo. Selecciona el vértice al cual se le determinará la bisectriz haciendo clic en él, a continuación se mostrarán las ecuaciones generales de los lados correspondientes. Una vez que hayas calculado la ecuación de la bisectriz, selecciona la respuesta correcta.


Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.

Autor: Octavio Fonseca Ramos

Edición académica: Fernando René Martínez Ortíz

Edición técnica: Norma Patricia Apodaca Alvarez y Fernando René Martínez Ortiz


Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.

Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán

Asesoría técnica: José Luis Abreu León, Oscar Escamilla González y Joel Espinosa Longi


Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.

Adaptación: Octavio Fonseca Ramos

Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi

Coordinación: Deyanira Monroy Zariñán


Actualización tecnológica y de estilo, 2019.

Actualización: Joel Espinosa Longi


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