Objetivo

Determinar las coordenadas del ortocentro de un triángulo a partir de sus vértices.

Procedimiento

Para determinar las coordenadas del ortocentro de un triángulo, es necesario conocer al menos dos ecuaciones de las alturas para resolverlas como un sistema de ecuaciones simultáneas.

Solución

Las alturas de un triángulo son las rectas que se trazan perpendicularmente desde uno de los lados (su extensión), que recibe el nombre de base, hasta el vértice opuesto. En cualquier triángulo se pueden trazar tres alturas, que se cortan en un punto conocido como ortocentro. Para determinar las coordenadas del ortocentro de un triángulo a partir de las coordenadas de los tres vértices, se lleva a cabo el siguiente procedimiento:

Se determinan, al menos, dos ecuaciones de las alturas.
Se obtienen las coordenadas del ortocentro resolviendo estas dos ecuaciones como un sistema de ecuaciones simultáneas lineales con alguno de los métodos que existen.

Ejemplo

A continuación se describe el procedimiento para conocer las coordenadas del ortocentro del triángulo a partir de las coordenadas de los tres vértices. Mueve los vértices del triángulo con los pulsadores o arrastrando los puntos. Después presiona Continuar hasta obtener el ortocentro y trata de entender todos los pasos. En todos los casos el ortocentro se determinará con las alturas (de color rojo) que pasan por los vértices $A$ y $B$. Si tu ortocentro queda fuera del plano, puedes mover este último hasta ubicarlo. También puedes acercar o alejar el plano usando el pulsador ubicado en la esquina inferior derecha del plano. Si deseas volver a centrar el plano en el origen y recuperar la escala original, presiona el botón Centrar al origen ubicado bajo el plano.

Ejercicios

Determina las coordenadas del ortocentro del triángulo a partir de dos alturas. Primero, selecciona las alturas con las que se obtendrá el ortocentro haciendo clic en los dos vértices correspondientes para que aparezcan sus ecuaciones. Cuando hayas resuelto el sistema de ecuaciones simultáneas, anota las coordenadas del ortocentro con dos cifras decimales. Presiona el botón Verificar para comprobar el resultado.

Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.

Autores: Octavio Fonseca Ramos, Carlos Hernández Garciadiego

Edición académica: José Luis Abreu León, Fernando René Martínez Ortiz y Alejandro Radillo Díaz

Edición técnica: Norma Patricia Apodaca Alvarez

Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.

Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán

Asesoría técnica: José Luis Abreu León, Oscar Escamilla González y Joel Espinosa Longi

Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.

Adaptación: Octavio Fonseca Ramos

Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi

Coordinación: Deyanira Monroy Zariñán

Actualización tecnológica y de estilo, 2019.

Actualización: Joel Espinosa Longi

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